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TRANSFORMACIONES LINEALES

Una transformación lineal es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector. En ocasiones trabajar con vectores es muy sencillo ya que pueden ser fácilmente interpretados dentro de un contexto gráfico, lamentablemente no siempre ocurre y es necesario transformar a los vectores para poderlos trabajar más fácilmente. Por otra parte, trabajar con sistemas lineales es mucho más sencillo que con sistemas no lineales, ya que se puede utilizar una técnica llamada superposición, la cual simplifica de gran manera gran variedad de cálculos, por lo que es de gran interes demostrar que un proceso puede ser reducido a un sistema lineal, lo cual solo puede lograrse demostrando que estas operaciones forman una transformación lineal.

Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:

Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo campo K, y T una función de V en W. T es una transformación lineal si para cada par de vectores de u y v pertenecientes a V y para cada escalar k perteneciente a K, se satisface que:

1.

2. donde k es un escalar.

Son aplicaciones lineales los operadores usados en la formulación matemática de la mecánica cuántica. Para detalles específicos sobre estos, ver el artículo Operador (mecánica cuántica).

Propiedades de las transformaciones lineales

1.

Transformación Lineal Singular y No Singular

Sean y espacios vectoriales sobre el mismo campo y una transformación lineal de en . Entonces, es no singular si:

X

En caso contrario es singular.

Teorema fundamental de las transformaciones lineales

• Sea B = {v1,v2,v3,...vn} base de V y C = {w1, w2, w3,...wn n} un conjunto de vectores de W no necesariamente distintos, entonces existe una única transformación lineal Para todo

Clasificación de las transformaciones lineales

1. Monomorfismo: Si es inyectiva, o sea si el único elemento del núcleo es el vector nulo.

2. Epimorfismo: Si es sobreyectiva (exhaustiva).

3. Isomorfismo: Si es biyectiva (inyectiva y exhaustiva).

4. Endomorfismo: Si o sea si el dominio es igual al codominio (el espacio vectorial de salida y el de llegada son el mismo).

5. Automorfismo: Si es endomorfismo e isomorfismo a la vez.

Definición 1 Sean espacios vectoriales, y sea . Diremos que es:

1. Una transformación lineal (o morfismo ) si dados , ,

2. Un Monomorfismo si es un morfismo inyectivo.

3. Un epimorfismo si es un morfismo sobreyectivo.

4. Un isomorfismo si es un morfismo biyectivo.

Además llamaremos ( para abreviar) al espacio de morfismos de , donde es la función constante cero, esto es:

Y la suma y producto escalar en se definen así:

1. Si , entonces es la transformación dada por .

2. Si , , entonces es la transformación dada por.

TEOREMAS

TEOREMA 2.1 Si T : V W es una transformación lineal, entonces V es dimensionalmente finito si y sólo si N(T) y R(T) son dimensionalmente finitos, y en este caso,

dim(V) = nulidad(T) + rango(T).

Demostración

Dados dos espacios vectoriales V y W sobre un campo F, definimos

L(V, W) = {T : V W | T es una transformación lineal}.

Si T, U Î L (V, W) y a Î F, definimos aT + U: V ® W como (aT + U) (x) = aT(x) + U(x) para toda x Î F. Es un ejercicio verificar que aT + U es una transformación lineal y que L (V, W), junto con estas operaciones de suma y de multiplicación por escalares, es un espacio vectorial sobre F.

Definimos el que una función fuera inyectiva, sobre y biyectiva. Es un ejercicio demostrar que para una transformación lineal T: V W, las siguientes condiciones son equivalentes:

• T es inyectiva

• N(T) = {0} (es decir, nulidad(T) = 0)

• Para todo S ê V, S es linealmente independiente si y sólo si T(S) ê W es linealmente independiente

También se deja como ejercicio el verificar que si V y W son dos espacios vectoriales con la misma dimensión (finita) y T: V W es una transformación lineal, entonces T es inyectiva o sobre si y sólo si es biyectiva.

Una transformación lineal es una función que preserva la estructura algebraica de espacio vectorial, por lo que no toda función entre espacios vectoriales es una transformación

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