UNIDAD IV: SERIES INFINITAS GUIA PRÁCTICA

UNIDAD IV: SERIES INFINITAS

GUIA PRÁCTICA

INTRODUCCION AL TEMA

Sucesión. Es una seguidilla de números que se obtiene a través de un arreglo ordenado o algoritmo. Es una función cuyo dominio está constituido por el conjunto de los números naturales y cuyo recorrido, que es un subconjunto de los números reales, se expresa así:

a1, a2, a3,…………, mediante {an}n=1∞ o simplemente {an}

Los elementos an, se conocen como término de la sucesión, pudiendo coincidir sus valores entre sí. Se puede especificar una sucesión dado suficientes términos iniciales para establecer un patrón

Ejemplo:

1, 4, 7, 10, 13……

Podemos encontrar la solución mediante la fórmula explicita para el n-ésimo termino como en:

an = 3n -2, n > 1.

a1= 3(1)-2=1 a3= 3(3)-2=7 a5= 3(5)-2=13

a2= 3(2)-2=4 a4= 3(4)-2=10

O mediante la fórmula recursiva

a1=1, an = an -1 + 3 , n > 2

a2= 1+3=4

a3= 4+3=7

a4= 7+3=10

a5= 10+3=13

SERIES.

Una serie simplemente es una suma de sucesiones del tipo a1 + a2 + a3 +…+ an +………,

Se denota por:

El índice del sumatorio puede ser cualquier letra, normalmente se utilizan las letras i, j, k, n; pero no puede coincidir con los límites de la suma. Así:

Nota: El límite inferior del sumatorio no tiene por qué ser 1, sino que puede ser cualquier número entero inferior al límite superior.

Ejemplo: Expresar en notación sumatorio las siguientes sumas:

Para resolver estas serie simplemente buscamos una expresión que reduzca la sumatoria (puede existir varias, siempre y cuando el resultado sea el mismo). Si analizamos el segundo ejercicio podemos ver que existen tres soluciones válidas a la serie planteada. Podemos ver que la primera y la segunda expresión son prácticamente iguales con límite inferior=3, y límite superior=7. Es decir cuándo:

i=3; i2=32 + i=4; i2=42….. y así sucesivamente.

Ahora bien la tercera expresión del mismo ejercicio tienen limites 2 y 7, debido (i+1)2 es decir : i=2;(2+1)2=32 + i=3;(3+1)2=42 ……………………..+ i=6;(6+1)2=72

Sumas Parciales: Se llama suma parcial n-sima a la suma de los n primeros términos de la serie.

EJEMPLO:

Criterio de Convergencia

Series Geométricas. Es una serie de la forma:

A traves del siguiente ejemplo determinaremos la expresion que utilizaremos para la suma de series geometricas:

EJEMPLO:

Series Geométricas.

Series Armónicas. Es una serie de la forma:

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