Enviado por edmonaco • 23 de Diciembre de 2017 • Síntesis • 743 Palabras (3 Páginas) • 166 Visitas
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Filosofía de la Matemática
Foco
Construcción histórica del conocimiento matemático y cuestionamiento filosófico sobre su fundamentación, su método, su verdad, y su progreso.
Preguntas
¿De qué hablan las proposiciones de la matemática? ¿Por qué creer en las proposiciones de la matemática? ¿Cómo se investiga en matemática? ¿Cuál es la relación de la matemática con la realidad? ¿Cuándo un sistema axiomático es consistente? ¿Cómo se intenta resolver el problema de la consistencia de la matemática? ¿Se puede formalizar toda la matemática?
Concepciones matemáticas de Ahmés, Tales, Pitágoras y Aristóteles. Axiomática clásica. Teoría del conocimiento (Kant). La teoría del orden. La teoría del orden total. Lógica elemental. Geometría Analítica de Descartes y Fermat.Teoría clásica de conjuntos de Cantor.Axiomática de Peano.Lógica de Russell y Frege. Los metateoremas de Gödel. Teoría de los Tipos. Geometría no euclideana.
Principios
Según Aristóteles: 1- La ciencia se divide en disciplinas que caracterizan cierto tipos de objetos y que tienen en común la manera en que se ordena el conocimiento. 2- Las afirmaciones de la ciencia son verdaderas, generales y necesarias. 3- Existe un número finito de afirmaciones de la ciencia que se aceptan de por sí. Euclides: Sus razonamientos están conformados por definiciones, postulados o axiomas y nociones comunes. Hilbert: Formaliza la geometría obteniendo cinco grupos de axiomas a partir de los cuales se pueden demostrar resultados clásicos de la Geometría de Euclides. Kant: Las geometrías no euclidianas eran puramente “imaginarias”. Gauss, Bolyai, Lobachevsky y Riemman consideran que no se genera contradicción al negar el quinto postulado de Euclides y aceptar su negación como verdadera. Hay dos tipos de conocimientos, el que se adquiere por los sentidos y el verdadero conocimiento, aquel que está fundamentadoEl problema de la consistencia de las Geometrías no euclideanas se reduce por métodos relativos sucesivos a la consistencia de la lógica.
Desde Ahmés a Platón, y aún hoy, toda actividad de los matemáticos y los resultados obtenidos estaban, y están signados, por la necesidad de que constituyan “verdades universalmente justificadas”.
Afirmaciones
de conocimiento
Filósofo
Ahmés
Tales de Mileto
Pitágoras
Platón
Aristóteles
¿De qué hablan las proposiciones de la matemática?
Objetos concretos cuyas características se obtienen a través de la experiencia.
Objetos empíricos observables y entidades límite no observables
Objetos que pertenecen a una realidad no empírica.
Objetos pertenecientes a un segundo mundo: entidades formales y universales.
Conceptos abstractos que generalizan propiedades de objetos concretos
¿Por qué creer en las proposiciones de la matemática?
Observación e inducción.
A la observación e inducción incorpora la deducción lógica.
La justificación proviene de la intuición. La mente se encarga de este proceso.
La fundamentación proviene de la intuición.
Intuición, y la aplicación del método demostrativo a partir de los mismos.
¿Cómo se investiga en matemática?
A través de muchas observaciones, los aspectos concretos se generalizan por la continuidad de la misma.
A la observación agrega la capacidad de imaginar y razonar.
Desarrollando facultades intelectuales, especialmente la intuición.
El ejercicio continuo de la intuición aporta nuevos conocimientos
Inducción, luego la intuición y las deducciones lógicas sobre ellas.
¿Cuál es la relación entre la matemática y la realidad?
La matemática es parte de la realidad.
La matemática estudia una parte de la realidad y también entes que no son parte de ella.
Isomorfismo entre la realidad y los entes matemáticos.
Isomorfismo o participación entre los objetos concretos y los entes del segundo mundo.
A la matemática le incumbe la realidad y da cuenta de ella.
Un sistema axiomático es consistente cuando no es posible derivar una contradicción a partir de sus axiomas. El problema de la consistencia de la matemática se intenta resolver reduciendo a través de distintos modelos relativos desde la geometría euclideana hasta la lógica. Hasta ahora no se ha podido formalizar toda la matemática
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