Funciones Trigonométricas

Funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas en el plano cartesiano se describen como relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo (triángulo en el cual uno de sus ángulos es recto).

Si el triángulo tiene un ángulo agudo θ se pueden encontrar seis razones entre las longitudes de los lados a,b y c del triángulo:

b/c, a/c, b/a, a/b, c/a, c/b

Las relaciones son funciones de θ y se les llama funciones trigonométricas. Las funciones trigonométricas son: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante, sus símbolos respectivamente son: sen, cos, tan, cot, sec y csc.

Si el ángulo θ es agudo a los lados del triángulo se les llama cateto adyacente, cateto opuesto e hipotenusa.

Es decir:

Sen θ = c. opuesto/hipotenusa

Cos θ = c. adyacente/hipotenusa

Tan θ = c. opuesto/c. adyacente

Cot θ = c. adyacente/c. opuesto

Sec θ = hipotenusa/c. adyacente

Csc θ = hipotenusa/c. opuesto

• Seno y cosecante son recíprocas entre sí.

• Coseno y secante son recíprocas entre sí.

• Tangente y cotangente son recíprocas entre sí.

Límites de funciones trigonométricas

Qué es un límite? Son los valores que toma una función dentro de un intervalo que se van aproximando a un punto fijo c. Se dice que el límite de la función f (x) es L cuando x tiende a c y se escribe:

Teorema: Si c es un número real en el dominio de la función trigonométrica indicada, se cumplen los siguientes límites de funciones trigonométricas:

Cuando calculamos límites de funciones trigonométricas es necesario recordar las siguientes identidades básicas:

1. Sen 2 x + Cos 2 x = 1

2. Tan x = Sen x/Cos x

3. Cot x = 1/tan x = Cos x/Sen x

4. Sec x = 1/Cos x

5. Csc x = 1/Sen x

6. Sen (α + β) = Sen α Cos β + Cos α Sen β

7. Sen (α – β) = Sen α Cos β – Cos α Sen β

8. Tan (α + β) = (Tan α + Tan β)/ 1 – Tan α Tan β

9. Tan (α – β) = (Tan α – Tan β)/ 1 + Tan α Tan β

10. Sen 2α = 2 Sen α Cos α

11. Cos 2α = Cos 2 α – Sen 2 α = 2Cos 2 α – 1 = 1 – Sen 2 α

12. Tan 2α = 2 Tan α / 1 – Tan 2 α

Veamos ahora dos límites que podemos llamar especiales y que sonde gran utilidad al evaluar límites de funciones trigonométricas:

1. Límite especial 1

Si medimos el ángulo θ en radianes y sabiendo que nuestro denominador no puede ser cero, realizamos una tabla de valores con valores próximos a cero:

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 -0.01 0 .01 0.1 0.2 0.2 0.4

0.973 0.985 0.993 0.998 0.999 f (x) 0.999 0.998 0.993 0.985 0.973

Podemos deducir entonces que:

2. Segundo límite especial

Recordando que el coseno de cero grados vale 1, obtendríamos

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