ANTECEDENTES HISTORICOS DEL CALCULO DIFERENCIAL

ANTECEDENTES HISTORICOS DEL CALCULO DIFERENCIAL

El calculo diferencial se origino en el siglo XVII al realizar estudios sobre el movimiento; es decir al estudiar la velocidad de los cuerpos al caer al vacio ya que cambia de un momento a otro, la velocidad en cada instante debe calcularse teniendo encuentra la distancia que recorre en un tiempo infinitesimalmente y pequeño.Para llegar al origen del calculo diferencial varios científicos tuvieron que aportar algo, algunos de ellos mencionaremos enseguida:

Gottfried Leibnz :realizo investigaciones similares e ideando símbolos matemáticos que se aplican hasta nuestros días

• descubrió y comenzó a desarrollar el cálculo diferencial en 1675. Su primera publicación sobre el tema fue en 1684

• invento símbolos matemáticos para la derivada y la integral

• Fue el primero en usar el término “Función” y el uso de símbolo para la igualdad.

NicolasOresme:establecio que en la proximidad del punto de una curva que la ordenada se considera “máximo y mnimos “, los tangentes y las cuadraturas igualar a cero de la derivada de la función, debido a que la tangente de la curva de los puntos en que la función tiene su máximo o su minimo , la función es paralela al eje “x” donde la pendiente de la tangente es nula.

Isacc Barrow, por medio del triangulo caracterizo que la hipotenusa es un arco infinitesimal de curva y su catetos son incrementos infinitesimalen en que difieren las absisas y las ordenadas de los extremos del arco.

Newton: consibio el método de las fluxiones considerando a la curva como la trayectoria de un punto que fluye ,fuel el primero en descubrir y desarrollar el método de fluxiones entre 1666 y 1669

 Desarrolló su propio método para el cálculo de tangentes.

 En 1665 encontró un algoritmo para derivar funciones algebraicas que coincidía con el descubierto con Fermat.

 A fines de 1665 se dedicó a reestructurar las bases de su cálculo, intentando desligarse de los infinitesimales, e introdujo el concepto de “Fluxión”, que para él era la velocidad con la que una variable “fluye” con el tiempo.

 En 1666 fue el primero en desarrollar métodos matemáticos para resolver problemas de esta índole.

En lo que concierne a las derivadas, existen dos conceptos geométricos que le dieron origen:

*El problema de la tangente a una curva.

*El problema de los extremos (máximos y mínimos.

El Cálculo es la matemática del cambio: velocidades y aceleraciones, rectas tangentes, pendientes, áreas, volúmenes, longitudes de arco, centroides, curvaturas y otros diversos conceptos que han hecho que los científicos, ingenieros y economistas puedan modelar situaciones de la vida real.

Leucipo, Demócrito y Antifon hicieron contribuciones al método exhaustivo griego al que Eudoxo dio una base científica alrededor de 370 a. C. El método se llama exhaustivo ya que considera las áreas medidas como expandiéndolas de tal manera que cubran más y más del área requerida.

Arquímedes construyó una secuencia infinita de triángulos empezando con uno de área A y añadiendo continuamente más triángulos entre los existentes y la parábola para obtener áreas

A, A + A/4, A + A/4 + A/16, A + A/4 + A/16 + A/64, ...

El área del segmento de la parábola es, por lo tanto:

A(1 + 1/4 + 1/4² + 1/4³ + ...) = (4/3)A.

Tanto Torricelli como Barrow estudiaron el problema del movimiento con velocidad variable. La derivada de la distancia es la velocidad y la operación inversa nos lleva de la velocidad a la distancia.El Cálculo constituye una de las grandes conquistas intelectuales de la humanidad, la geometría, el álgebra y la aritmética, la trigonometría, se colocaron en una nueva perspectiva teórica.

Arquímedes usó el método exhaustivo para encontrar la aproximación al área de un círculo. Esto, es un ejemplo temprano de integración que llevó a valores aproximados de π. Entre otras 'integraciones' de Arquímedes estaban el volumen y la superficie de una esfera, el volumen y área de un cono, el área de una elipse, el volumen de cualquier segmento de un paraboloide de revolución y un segmente de un hiperboloide de revolución. Tres matemáticos, nacidos en un periodo de tres años, fueron los siguientes en hacer contribuciones importantes. Eran Fermat, Roberval y Cavalieri. Este último llegó a su 'método de los indivisibles' por los intentos de integración de Kepler. Cavalieri pensó en un área como formada por componentes que eran líneas y luego sumó su número infinito de 'indivisibles'. Demostró, usando estos métodos, que la integral de xn entre 0 y a era an+1/(n+1) mostrando el resultado para ciertos valores de n e infiriendo el resultado general. Roberval consideró problemas del mismo tipo pero fue mucho más riguroso que Cavalieri. Roberval se fijó en el área entre una curva y una línea como formada por un número infinito de rectángulos infinitamente delgados. Aplicó esto a la integral de xm entre 0 y 1 y demostró que tenía un valor aproximado de

(0m + 1m + 2m +...+ (n-1) m)/nm+1.

Roberval entonces afirmó que esto tendía a 1/(m+1) cuando n tiende a infinito, calculando así el área. Fermat también fue más riguroso en su acercamiento pero no dio demostraciones. Generalizó la parábola y la hipérbola:

Parábola: y/a = (x/b)² generalizada como (x/a)n = (y/b)m.

Hipérbola: y/a = (b/x)² generalizada como (y/a)n = (b/x)m.

Al estar examinando y/a = (x/b)p, Fermat calculó la suma de rppara r entre 1 y n. Fermat también investigó máximos y mínimos considerando dónde la tangente a la curva es paralela al eje X.

Beaune extendió sus métodos y los aplicó a las tangentes; en este caso la doble intesección se traduce en raíces dobles. Hudde descubrió un método más sencillo, llamado la Regla de Hudde, que básicamente involucra a la derivada. El método de Descartes y la Regla de Hudde tuvieron una influencia importante sobre Newton. Huygens criticó las pruebas de Cavalieri diciendo que lo que se necesita es una demostración que al menos convenza de que puede construirse una prueba rigurosa. Huygens tuvo gran influencia sobre Leibniz y por lo tanto jugó un papel importante en la producción de un acercamiento más satisfactorio al cálculo.

Aunque Leibniz fue el primero en publicar un trabajo sobre cálculo, quien primero desarrolló estos temas fue Isaac Newton durante los años 1664 a 1666. Por entonces, Newton era estudiante del Trinity College de Cambridge e inventó lo que él llamó las fluxiones, que no eran otra cosa que un conjunto de reglas con las que también podía calcular máximos, mínimos y

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