LA BRAQUISTROCRONA

El gran Galileo Galilei (1564-1642), astrónomo y físico italiano se preguntaba ¿qué forma debe tener un canal metálico bien pulido que une dos puntos fijos A y B para que sea mínimo el tiempo que invierte una bola metálica pulida en recorrerlo desde el punto A hasta el punto B? A primera vista parecería que el canal debe ser rectilíneo pues sólo en ese caso la bola recorrerá el camino más corto entre A y B. Pero se trata del camino de tiempo mínimo y no del camino más corto y este tiempo, aparte de la longitud del recorrido, depende también de la velocidad de la bola.

Un curva braquistócrona, o curva del descenso más rápido, es la curva entre dos puntos que es recorrida en menor tiempo, por un cuerpo que comienza en el punto inicial con velocidad cero, y que debe desplazarse a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto, bajo acción de una fuerza de gravedad constante y suponiendo que no existe fricción. En la solución del problema intervinieron: Johann y Jacobo Bernoulli, Leibniz, L'Hôpital, Newton, Tschirnhaus, entre otros.

En 1696, Jakob Bernoulli y Johann Bernoulli resolvieron el problema de la braquistócrona, el primer resultado en el cálculo de variaciones.

Figura 5. Esquema de una curva braquistócrona

Dados dos puntos A y B (Figura 5), con A a una elevación mayor que B, existe solo una curva cicloide con la concavidad hacia arriba que pasa por A con pendiente infinita (dirección vertical y sentido de arriba hacia abajo), también pasa por B y no posee puntos máximos entre A y B. Esta particular cicloide invertida es una curva braquistócrona. La curva no depende de la masa del cuerpo o del valor de la constante gravitacional.

El problema puede ser resuelto utilizando los algoritmos del cálculo variacional.

Si al cuerpo se le da una velocidad inicial en A, o si se toma en cuenta el efecto de la fricción, la curva que minimiza el tiempo de tránsito será distinta de la descrita en los párrafos precedentes.

La curva braquistócrona coincide además con una curva tautócrona. Una curva plana se dice tautócrona si dada una colección de puntos materiales que se mueven a lo largo de ellas que empiezan en puntos diferentes se encuentran en un punto de la curva, es decir tardan el mismo tiempo en alcanzar una cierta posición.

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