Espacios generados

Funciones de dos variables. Gr¶a¯cas

La primera parte del curso se ha centrado en el estudio de las funciones de una variable,

f : R ! R

El siguiente paso en complejidad lo representan las funciones de dos variables. f : R

2

! R Estas

funciones se representan a menudo mediante el s¶³mbolo:

z = f (x; y)

(esta mezcla de notaci¶on z y f es com¶un).

Es posible representar gr¶a¯camente una de estas funciones f : R

2

! R mediante su gr¶a¯ca:

graf(f ) =

©

(x; y; z) 2 R

3

j (x; y) 2 U; z = f (x; y)

ª

Esta gr¶a¯ca es, hablando informalmente, una super¯cie en R

3

: sobre cada punto (x; y) del plano

xy dibujamos un punto (x; y; z) a altura z = f (x; y). El conjunto obtenido al dibujar las im¶agenes

de todos los puntos (x; y) de U es la gr¶a¯ca de f .

Ejemplo 1.1. El ejemplo m¶as sencillo (sin ser constante) de una de estas funciones es un

polinomio de grado 1, de la forma:

z = f (x; y) = ax + by + c; con a; b; c constantes

Esta funci¶on tan sencilla tiene, naturalmente una gr¶a¯ca sencilla. La gr¶a¯ca est¶a formada por

los puntos del plano

z = ax + by + c

1

Naturalmente, si se consideran funciones m¶as complicadas sus gr¶a¯cas se corresponden con

super¯cies m¶as complejas que el plano.

Ejemplo 1.2. Por ejemplo la funci¶on

f (x; y) = (3=2)e

1

1+(x¡1)2+(y¡1)2

¡(5=2)e

1

1+(1=4)(x+1=2)2+(1=36)(y¡1)2

+2e

1

1+(x¡2)2+(y¡2)2

+2e

1

1+(x¡1)2+(y+1)

2

tiene una gr¶a¯ca con este aspecto:

Como puede verse en este ejemplo, en general una gr¶a¯ca se corresponde a una super¯cie con

un paisaje lleno de accidentes: cumbres, valles, puertos, etc¶etera. Uno de nuestros objetivos es

ser capaces de identi¯car y describir esas caracter¶³sticas de la gr¶a¯ca, al igual que hemos hecho

en el caso de las funciones de una variable. Por ejemplo, las cumbres de ese paisaje que forma la

gr¶a¯ca se corresponden con los m¶aximos locales de la funci¶on z = f (x; y), y en las aplicaciones

resulta muchas veces esencial disponer de un procedimiento para localizar esos m¶aximos con

tanta precisi¶on como se desee.

2. Curvas de nivel

Hemos comparado la gr¶a¯ca de una funci¶on z = f (x; y) con un paisaje con un cierto relieve. En cartograf¶³a se utilizan las curvas de nivel para incorporar a un mapa (plano) alguna

informaci¶on tridimensional del relieve que corresponde a la zona representada. En esta ¯gura se

muestra una parte de un mapa cartogr¶a¯co del Parque Nacional de Ordesa, en los Pirineos en

el que se aprecian con

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