Factorización
Enviado por eximirey • 7 de Mayo de 2012 • 4.768 Palabras (20 Páginas) • 1.527 Visitas
ÁLGEBRA: NIVEL MEDIO SUPERIOR FATORIZACIÓN DE POLINIMIOS
AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO
EDICIÓN: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS
4-1
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
Hemos visto el problema de encontrar el producto, dados los factores. La factorización es
encontrar los factores, dado el producto.
Se llaman factores de una expresión algebraica aquellos que multiplicados entre sí dan
como resultado la primera expresión.
Ejemplo: sí; (x 2)(x 3) x2 5x 6 + + = + +
Tenemos que, x + 2 y (x + 3) son factores de x2 5x 6 + + , así pues, factorizar una expresión
algebraica es convertirla en el producto indicado.
Existen diversos procedimientos para descomponer en factores un producto, los
mencionaremos, sin perjuicio de que en algunos casos podamos combinar dos o más de estos
procedimientos.
1. FACTORIZACIÓN POR FACTOR COMÚN.
Cuando en los diversos términos de un polinomio participa un mismo factor, se dice que se
le saca como factor común, para lo cual, se escribe e inmediatamente, después, dentro de
un paréntesis se anotan los cocientes que resulten de dividir cada uno de los términos del
polinomio entre el factor común.
Ejemplos:
Factorizar los siguientes polinomios:
a) a2 2a a(a 2) + = +
b) 10b 30ab2 10b(1 3ab) + = +
c) 10a2 5a 15a3 5a(2a 1 3a2 ) + + = + +
d) 5a3b2 x 15a 4bx 2 35a2b2 x4 y5 5a2bx(ab 3a2 x 7bx 3y5 ) + - = + -
e) 12a2b3 30a 3b2 18ab4 42a 4b 6ab(2ab2 5a2b 3b3 7a3 ) - + - = - + -
f) 15a2 x2 30a2 x3 105a 2x4 75a 2 x5 15a 2x2 (1 2x 7x 2 5x3 ) - + - = - + -
g) 44axn 22a2bx n 1 66a3 xn 2 22axn ( 2 abx 3a2 x2 ) - + + - + = - + -
h) xm+nyn - x2nym+n - xny2m = xny(xmyn-1 - xnym+n-1 - y2m-1 )
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2. FACTORIZACIÓN POR PRODUCTOS NOTABLES.
Como su nombre lo indica consiste en aplicar los productos notables ya conocidos.
a). Factorización de una diferencia de cuadros.
Se sabe que: a2 b 2 (a b)(a b) - = + - ; por lo tanto una diferencia de cuadrados, es igual al
producto de dos binomios conjugados.
Ejemplos:
1) 9x2 4y4 (3x 2y2 )(3x 2y2 ) - = (3x)2 - (2y2 )2 = + -
2) 25x 2 16a 2b2 5x 4ab)(5x 4ab) - = (5x)2 - (4ab)2 = ( + -
3)
(x 4)(x 2)(x 2)
x 16
2
4
= + + -
- = (x2 )2 - (4)2 = (x2 + 4)(x2 - 4) = (x2 + 4)[(x)2 - (2)2 ] =
4) ÷ø
ö
çè
æ
÷ø
ö
çè
æ
÷ø
ö
çè
æ
÷ø
ö
çè
- = æ - = + -
3
y
4
x
3
y
4
x
9
y
16
x2 2 2 2
3
y
4
x
b). Factorización de un cuadrado perfecto:
Del desarrollo del binomio al cuadrado se tiene:
(a + b) = a2 + 2ab + b2 2 y también (a - b) 2 = a2 - 2ab + b2
Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de otra cantidad, así tenemos
que 4a 2 es cuadrado perfecto porqué es el cuadrado de 2a .
Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto, una vez que ha sido identificado como tal,
con apoyo de los productos notables, se extrae raíz cuadrada al primero y tercer termino
del trinomio separándose estas raíces por medio del signo del segundo termino y elevando
este binomio al cuadrado.
Ejemplos:
1) m2 2m 1 (m 1)2 (m 1)(m 1) + + = + = + +
2) 4x 2 25y2 20xy + - . Ordenando y factorizando, se tiene:
4x 2 20xy 25y 2 (2x 5y) 2 (2x 5y)(2x 5y) - + = - = - -
3) 1 16ax 2 64a 2x4 (1 8ax2 ) 2 (1 8ax2 )(1 8ax2 ) - + = - = - -
4) 9x2 12xy 4y2 (3x 2y) 2 (3x 2y)(3x 2y) - + = - = - -
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5) 4x 2 4xy y2 (2x y)2 (2x y)(2x y) + + = + = + +
6) ÷ø
ö
çè
æ
÷ø
ö
çè
æ
÷ø
ö
çè
æ + + = + = + +
2
1
x
2
1
x
2
1
x
4
1
x x
2
2
7) ÷ø
ö
çè
æ
÷ø
ö
çè
æ
÷ø
ö
çè
æ - + = - = - - 3b
4
a
3b
4
a
3b
4
a
ab 9b
2
3
16
a 2
2
2
8) ÷ø
ö
çè
æ
÷ø
ö
çè
æ
÷ø
ö
çè
æ - + = - = - -
3
b
2
1
3
b
2
1
3
b
2
1
9
b
3
b
4
1 2 2
c). Factorización de una suma o diferencia de cubos.
Se sabe que: a3 b3 (a b)(a 2 ab b2 ) + = + - + y a3 b 3 (a b)(a2 ab b 2 ) - = - + +
Ejemplos:
1). Factorizar: 8x3 + 216y 3 . Llevándolo al tipo de suma de cubos tenemos:
8x3 216y 3 (2x 6y)(4x 2 12xy 36y 2 ) + = (2x)3 + (6y)3 = + - +
2). Factorizar: 81x 4 y - 192xy 4 . Llevándolo al tipo de diferencia de cubos tenemos:
3xy(3x 4y)(9y 12xy 16y )
81x y 192xy
2 2
4 4
= - + +
- = 3xy(27x3 - 64y3 ) = 3xy[(3x)3 - (4y)3 ] =
3). Factorizar: 27a 3 8 - . Se puede ver que es una diferencia de cubos, por lo que:
27a 3 8 (3a 2)(9a 2 6a 4) - = (3a)3 - (2)3 = - + +
4). Factorizar: x3 1 +
x3 1 (x 1)(x 2 x 1) + = + - +
5). Factorizar: 64x 3 125 + .
64x 3 125 (4x 5)(16x 2 20x 25) + = (4x)3 + (5)3 = + - +
d). Factorización de cubos perfectos de binomios.
Se ha visto que: (a + b) 3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b 3 y que: (a - b) 3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 .
Ejemplos:
1) 1 12a 48a 2 64a 3 (1 4a)3 (1 4a)(1 4a)(1 4a) + + + = + = + + +
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2)
(a 6b )(a 6b )(a 6b )
a 18a b 108a b 2116b (a 6b )
3 5 3 5 3 5
9 6 5 3 10 15 3 5 3
= - - -
- + - = - =
3) ÷ø
...