Filosofia

Los desarrollos en serie de Taylor presentan grandes ventajas a la hora de operar funciones cuyas ecuaciones involucran expresiones complicadas tales como funciones trascendentes (senos, logaritmos, etc). Sin embargo también presentan ciertos inconvenientes. Un inconveniente importante es que el número de términos necesarios para aproximar con precisión razonable a la función en un punto alejado del evaluado (pero siempre dentro del intervalode convergencia de la serie) se dispara al infinito. Otro inconveniente es que la expresión poli nómica de la función puede hacer difícil detectar sus propiedades elementales, por ejemplo, no es obvio deducir del desarrollo del seno que se trata de una función periódica.

Conociendo el desarrollo en serie de una función f(x) en x=a es inmediato obtener sus derivadas sucesivas f'(a),f''(a),f'''(a) etc . Según se desprende de la definición, sin más que multiplicar el i-pésimo coeficiente (correspondiente al término de grado i) por i! obtenemos la derivada i-pésima en el punto "a" de la función. Asimismo calcular una integral definida sobre un intervalo perteneciente a un entorno del punto "a" es también inmediato, pues la función primitiva se obtiene fácilmente integrando cada término del desarrollo. Si bien cabe señalar que dicha integral no será exacta, sino aproximada, y será tanto más precisa cuanto más pequeño sea el intervalo de integración y cuanto más centrado esté dicho intervalo en el punto x=a. Los desarrollos en serie son una potente herramienta en el cálculo de límites. Un límite aparentemente complejo puede convertirse en trivial sin más que sustituir cada función por su desarrollo en serie y realizar las operaciones correspondientes de simplificación.

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