INTEGRALES EN LA INGENIERIA CIVIL

INTEGRALES EN LA INGENIERIA CIVIL

ANDREA LIZETH MAZÁBEL RIOS

NUBIA J GALINDO P

CALCULO INTEGRAL

UNIVERSIDAD DE LA SALLE

BOGOTA

11 DE SEPTIEMBRE DE 2015

INTRODUCCION

En el presente trabajo se  podrá observar  el uso o implementación de las integrales en el área de la ingeniería civil, de la misma forma podremos ver las aplicaciones que esta misma nos permite desarrollar o llevar a cabo de una manera precisa y satisfactoria. Se mostraran ejemplos en el que las integrales son útiles para hallar volúmenes y de forma más compleja y enfocada  en  la mecánica de fluidos, mecánica de sólidos y se mencionarán otras aplicaciones. De igual forma se podrá ver diferentes ejemplos teóricos y algunos que se desarrollan en el momento de la practica (es decir cuando se procede a realizar alguna construcción y tener una idea exacta de cómo debería resultar o reaccionar en diferentes situaciones).

Del mismo modo se podrá mostrar la importancia de las integrales en la ingeniería civil (me refiero a esta ingeniería porque es en la que me estoy profesionalizando), también se mostrara los conceptos de las distintas aplicación pues no se entrara a explicar a fondo cada una de ellas.

OBJETIVOS

• Identificar de manera precisa las aplicaciones que tiene las integrales en la ingeniería civil, para poder darle un uso adecuado a las mismas.
• Conocer algunas técnicas usadas en la ingeniería civil que son básicas para el buen desempeño

MARCO TEORICO

 Cuando se habla de aplicaciones de las integrales de la ingeniería civil podemos referirnos principalmente o nos relacionan directamente a lo que tiene que ver con volúmenes y áreas, debido a que las integrales se desarrollaron principalmente por la necesidad de tener el área de figuras irregulares en terrenos, es decir su aplicación más frecuente es el de calcular áreas y volúmenes. Sin embargo también tiene algunas aplicaciones que no son tan conocidas pero que  son igual de indispensables a la hora de hacer la práctica o de desarrollar un proyecto.

Conozcamos inicialmente algunas aplicaciones básicas:

• En el área: es una de las aplicaciones  a las integrales más comunes y es sitada de la siguiente manera

  Sea f: [a, b] −→ R + 0 una función continua y sea R (f) = {(x, y) ∈ R 2; a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)}. Siguiendo el método de exhaución y el apartado anterior, se tiene que el "área” del conjunto R (f), A(R (f)), viene dada por la siguiente fórmula. A(R (f)) = Z b a f(x) dx. De manera más general, dadas f, g: [a, b] −→ R dos funciones integrables, verificando que, para cada x ∈ [a, b], f(x) ≥ g(x) podemos considerar el recinto R (f, g) = {(x, y) ∈ R 2; a ≤ x ≤ b, f(x) ≤ y ≤ g(x)}. 

Es ahora fácil probar que el área de dicho recinto A(R (f, g))), verifica A(R (f, g)) = | Z b a f(x) − g(x) dx

Considérense por ejemplo las funciones f, g: [0, 2] −→ R, definidas por f(x) = x 2 y g(x) = √ x, y el recinto R (f, g), comprendido entre las correspondientes gráficas

[pic 1]

Es claro que área de dicho recinto A(R (f, g))), verifica A(R (f, g)) = | Z 1 0 x 2 − √ xdx| + | Z 2 1 x 2 − √ xdx| = 3 − 4/3 √ 2.

• Solidos de revolución: también llamados volúmenes de revolución; y dicta:

 Sea f: [a, b] −→ R una función continua cuya gráfica se encuentra en el semiplano superior. Supongamos que el recinto R (f), definido como en el segundo apartado, gira alrededor del eje x. El conjunto así generado es llamado el sólido de revolución generado por f al girar sobre el eje x, el cual es el subconjunto de R 3 , definido por Sx(f) = {(x, y, z) ∈ R 3 ; a ≤ x ≤ b, y2 + z 2 ≤ f 2 (x)}. Considérese por ejemplo la función identidad restringida al intervalo [1, 3]. En la siguiente figura vemos el correspondiente R (f) y por tanto el correspondiente sólido de revolución es el siguiente tronco de cono

Mecánica de fluidos: Las ecuaciones que rigen toda la mecánica de fluidos se obtienen por la aplicación de los principios de conservación de la mecánica y la termodinámica a un volumen fluido. Para generalizarlas usaremos el teorema del transporte de Reynolds y el teorema de la divergencia (o teorema de Gauss) para obtener las ecuaciones en una forma más útil para la formulación euleriana.

Las tres ecuaciones fundamentales son: la ecuación de continuidad, la ecuación de la cantidad de movimiento, y la ecuación de la conservación de la energía. Estas ecuaciones pueden darse en su formulación integral o en su forma diferencial, dependiendo del problema. A este conjunto de ecuaciones dadas en su forma diferencial también se le denomina ecuaciones de Navier-Stokes (las ecuaciones de Euler son un caso particular de la ecuaciones de Navier-Stokes para fluidos sin viscosidad).

No existe una solución general a dicho conjunto de ecuaciones debido a su complejidad, por lo que para cada problema concreto de la mecánica de fluidos se estudian estas ecuaciones buscando simplificaciones que faciliten la resolución del problema. En algunos casos no es posible obtener una solución analítica, por lo que hemos de recurrir a soluciones numéricas generadas por ordenador. A esta rama de la mecánica de fluidos se la denomina mecánica de fluidos computacional. Las ecuaciones son las siguientes:

Ecuación de continuidad: 

[pic 2]

Ecuación de cantidad de movimiento:

[pic 3]

Ecuación de la energía

[pic 4]

Presión hidrostática

En esta aplicación de la integral abordaremos el problema de determinar la presión con la que un líquido actúa sobre una pared vertical, o sobre una de las paredes del recipiente que lo contiene. Los principios básicos se detallan a continuación Presión sobre una superficie horizontal El caso más sencillo sería el de determinar la presión con la que el agua actúa sobre el fondo de un recipiente lleno de agua. En este caso y en general para una superficie plana horizontal bajo el agua, una ley de la Hidrostática nos dice que la presión del agua sobre ella es igual al peso de la columna de agua que soporta, es decir, de una columna de agua que tiene esta superficie como base y cuya altura es la profundidad a la que se encuentra sumergida dicha superficie. Como se trata de agua, cuyo peso específico es 1, el peso de esta columna numéricamente es igual al volumen.

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