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caciones del método gráfico a dos variables de decisión y sus limitaciones.

Método gráfico para resolver modelos de programación lineal con solo dos variables.

En esta sección interesa hacer análogos geométricos, esto es, gráficas de funciones lineales que contiene el modelo matemático de programación lineal obtenido en la formulación del problema que se analiza. Dicho modelo puede contener expresiones tanto en forma de ecuaciones ( = ) como en desigualdades ( <= ó >= ), cada una de ellas corresponde a un gráfico en la analogía geométrica.

Primero considere la infinidad de puntos que constituyen en conjunto el plano y los cuatro cuadrantes convencionalmente aceptados, para dividirlo en zonas caracterizadas por la combinación de signo que se puede dar, a los valores medidos con números reales. Para lograr los cuadrantes en el plano se utilizan los ejes cartesianos con escala de medición de valores de las variables del problema; por ejemplo, se puede asignar el eje horizontal de abscisas para la medición de valores de la variable X1; también se puede asignar el eje vertical de ordenadas, para la medición de valores de la variable X2. La localización de cualquier punto en este espacio plano requiere de una distancia horizontal (X1) y de una distancia vertical (X2) denotado como par ordenado o vector (X1, X2). Un punto sobre el eje X1 corresponde a X2=0 y un punto sobre el eje X2 corresponde a X1=0, que son las ecuaciones respectivas de los ejes horizontal y vertical. Dichos ejes se cruzan en el punto (X1, X2) = (0, 0), el cual se conoce como origen.

Si la ecuación tiene sólo dos variables, el gráfico de la misma sobre el plano es una línea recta, es decir, se requiere un espacio de dos dimensiones, la horizontal y la vertical, para graficar tal ecuación; pero la representación geométrica de una ecuación en tres variables, requiere un espacio de tres dimensiones. En tal caso, a los ejes X1 y X2, se les agrega un tercer eje X3 como tercera dimensión, que pasa por el origen hacia el observador.

Los gráficos de la Figura 1-13 y Figura 1-14 muestran lo anterior para una ecuación cualquiera:

Figura 1-13. Gráfico de una ecuación en dos dimensiones.

Figura 1-14. Gráfico de una ecuación en tres dimensiones.

El método gráfico proporciona la oportunidad de visualizar algunos de los conceptos importantes de la programación lineal. Pero tiene una gran limitación referente, a que sólo es posible aplicarlo en problemas muy pequeños; para este curso se limita el método gráfico aplicado a problemas con sólo dos variables. El método gráfico para resolver problemas que se han modelado con programación lineal consiste en asignar un eje cartesiano para cada una de las dos variables involucradas; de esta manera se asigna, por ejemplo, el eje horizontal como escala para los distintos valores que pueda tener la variable X1; también se puede asignar el eje vertical con su respectiva escala para ubicar los distintos valores que puede tomar la variable X2. Un sistema con dos ejes cartesianos, horizontal y vertical, permite representar en un espacio plano las líneas rectas que geométricamente hablando representan cada expresión matemática lineal con sólo dos variables. Las restricciones y condiciones de signo del problema, representan al sistema que debe graficarse en un plano y después se valora en el mismo la función económica Z, con la cual se busca un punto del sistema que maximice o bien minimice su valor.

Para mejor comprensión del método gráfico de solución de problemas modelados con programación lineal, se presenta el siguiente ejemplo que se detalla lo suficiente para el voluntarioso estudiante de esta técnica poderosa en su aplicación. Posteriormente se presentan otros ejemplos con el propósito de profundizar en la enseñanza e intentar mayor avance en el aprendizaje.

• Definición de las variables y función objetivo

Como ya se apuntó anteriormente, los problemas de programación lineal tienen un objetivo ya sea de máximo o bien de mínimo. En este problema, el objetivo es de maximizar la contribución a la utilidad y se plantea en forma matemática introduciendo alguna forma simple de notación, como sigue:

1a. Parte.-Definición de variables.-

Es importante precisar la unidad de medida:

2a. parte.- Función objetivo.-

La contribución a la utilidad se origina de: (1) la que proviene de la producción de X1 toneladas de cera automotriz, y (2) la que proviene de la producción de X2 toneladas de pasta pulidora. Dado que se gana 400 dólares por cada tonelada de cera producida, la empresa gana $400 X1 si se producen X1 toneladas de cera. También, en vista de que se gana 300 dólares por cada tonelada de pasta producida, la empresa gana$300 X2 si se producen X2 toneladas de pasta. Identificando con Z la contribución total a la utilidad y eliminando el signo de dólares se tiene:

El problema es encontrar la combinación de producción que maximice la contribución total a la utilidad. Esto es, se deben determinar los valores para X1 y X2 que den el valor más elevado posible de Z. En terminología de programación lineal, se nombran a X1 y a X2 como las variables de decisión. Dado que el objetivo de maximizar la utilidad es una función de éstas, entonces se dice que Z = 400 X1 + 300 X2 es la función objetivo, que también se puede escribir abreviando los coeficientes a unidades que significan cientos de dólares por tonelada producida, como sigue:

Cualquier combinación de producción de cera y pasta se conoce como una solución al problema. Sin embargo,

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