LA PROPORCIÓN ÁUREA
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2. LA PROPORCIÓN ÁUREA
Históricamente, una de las primeras referencias a la proporción áurea (aunque sin hacer
mención de esa denominación) aparece en el libro sexto de los Elementos de Euclides: en la
Definición 3 y en el Problema 10, Proposición 30. Presentamos los enunciados rescatados de
la traducción de Rodrigo Zamorano
(5)
:
Definición 3. "Dize fe fer diuidida vna linea recta con razon extrema y media quando
fuere que como fe ha toda a la mayor parte, affi la mayor a la menor"
(6)
.
Problema 10, Proposición 30. "Diuidir una linea recta dada terminada con extrema y
media razon"
(7)
.
Este problema, con este amorfo
(8)
título, lo resuelve Euclides mediante una construcción con
regla y compás. Vamos a hacerlo nosotros también, y para ello vamos a situarnos en la actualidad, usando la terminología y notación adecuadas. Se trata de dividir un segmento en dos
partes desiguales, de manera que la parte menor sea a la mayor como la mayor sea a la longitud total de segmento. Gráficamente se puede observar en la siguiente figura.
Se trata de encontrar el punto C, de manera que se cumpla la proporción entre las longitudes
de los segmentos AB, AC y BC:
, o también
Permítasenos un inciso para comentar el simbolismo de la proporción en matemáticas.
Habitualmente, la mayoría de las proporciones matemáticas están compuestas pro cuatro
términos distintos a, b, c, d, verificándose
.
En el caso en que c = b, tenemos la
proporción de tres términos distintos
,
donde b es media proporcional entre a y d.
La peculiaridad de la proporción
es que se obtiene a partir de dos términos
diferentes a y b por división asimétrica del todo (o unidad), representado por a + b.
Volviendo a la proporción, quitando los denominadores obtenemos:
a(a + b) = b
2
, a
2
+ ab = b
2
que, considerando b como incógnita, podemos ordenar para llegar a la ecuación de segundo
grado:
b
2
– ab – a
2
= 0 (1)
Resolviéndola obtenemos:
Interpretando las soluciones obtenidas, y teniendo en cuenta que a y b son longitudes de segmentos, por tanto cantidades positivas, nos quedamos con la solución mayor que cero, es decir:Diciembre 2008 • 2008ko Abendua 135
La Divina Proporción en el Instituto "Cardenal López de Mendoza"
Un análisis de las proporciones del antiguo Colegio de San Nicolás
Tenemos, por tanto, que la longitud del segmento b es igual a la longitud del segmento a
multiplicada por el número
.
Es decir, que la razón (cociente) existente entre la longitud
de los segmentos a y b es el número
.
Hemos llegado a la solución del problema inicial,
la
división del segmento en dos partes desiguales, y es el momento de dar nombres a los resultados
obtenidos: el número
(9)
= 1,61803398875 se denomina número de oro o número áureo y
se designa por la letra del alfabeto griego f. A la proporción se le denomina proporción áurea,
proporción divina
(10)
, sección áurea
(11)
o sección divina
(12)
. Este número decimal pertenece al
conjunto de los números irracionales, porque tiene infinitas cifras decimales y no es periódico;
es decir, no tiene un grupo de cifras decimales que se repita periódicamente y de manera indefinida. Por tanto, nunca podremos conocer todas sus cifras decimales y nunca lo conoceremos
en su totalidad (como le pasa a cualquier otro número irracional: p, √2, √3, √5, etc). Esta última
de las características de los números irracionales, la inconmensurabilidad o imposibilidad de
ser medido con exactitud, es la que desató en la época griega una de las crisis de la escuela
pitagórica.
Antes de continuar, debemos aclarar que hemos denominado número de oro f al cociente:
. Si consideramos la proporción inicial , el cociente será igual al número
, inverso de f. Haciendo operaciones podemos llegar a que el valor del inverso del
número de oro es igual a:
Como, por otra parte, el número de oro es solución de la ecuación b
2
– ab – a
2
= 0 cuando
a = 1, podemos escribir que f
2
– f – 1 = 0, o lo que es lo mismo f
2
= f + 1. Esta relación es
la que caracteriza al número áureo y expresa una de las características de la sucesión numérica
de las potencias de f:
1, f, f
2
,…, f
n
,…
Esta sucesión tiene propiedades multiplicativas ya que es una progresión geométrica de razón
f, por lo tanto expresa un crecimiento exponencial, y también tiene propiedades aditivas, ya
que cada término (desde el tercero en adelante) es igual a la suma de los dos anteriores. Estas
propiedades las podemos escribir como:
f
n
+ f
n+1
= f
n+2
, n ∈ N f
n+1
= f. f
n
, n ∈ N
Análogamente, si tomamos la relación f
2
= f + 1 y dividimos a los dos lados del signo igual por
f, obtenemos . Si volvemos a dividir esta relación por f, resulta que , y en
general, podemos comprobar que se cumple la igualdad: . Por tanto,
la sucesión numérica
(13)
tiene las mismas propiedades
aditivas y multiplicativas que la sucesión 1, f, f
2
,…, f
n
,…
Estas sucesiones están relacionadas con la conocida sucesión de Fibonacci:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., an
, an+1
, ...136
Constantino de la Fuente Martínez
SIGMA Nº 33 • SIGMA 33 zk.
Esta última tiene propiedades aditivas, pues si n es un número natural, entonces an
+ an+1
= an+2
,
y también desarrolla un crecimiento que, asintóticamente
(14)
, está relacionado con el número f.
Esto lo podemos expresar matemáticamente como: . Es decir, si n es muy grande,
entonces los términos de la sucesión de Fibonacci
...