Los Max Y Min

De una lamina de 120 cm. X 75 cm, se desea construir una caja sin tapa, del mayor volumen posible recortando cuadrados iguales de las esquinas de la lámina y doblando hacia arriba las salientes para tomar las caras laterales.

¿Cuáles deben de ser las dimensiones de la caja para que su volumen sea máximo?

¿Cuál es el volumen máximo que puede contener?

Al asignar X a la altura de la caja y V a su volumen, algebraicamente tendríamos:

V = (120 - 2X) (75 - 2X) (X)

V = 4X^3 - 390 X^2 + 9000X

No se le pude recortar a la lámina más de 37.5 cm., por lo que la altura debe estar en el intervalo: 0<X<37.5

Calculando el máximo en la función V = 4X3 - 390 X2 + 9000X (derivando e igualando a cero):

V´ = 12X^2 - 780X + 9000

12X2 - 780X + 9000 = 0

X1 = 50 y X2 = 15 desde ahora puede descartarse el valor X = 50 por ser mayor que 37.5

Usamos ahora la segunda derivada:

V” = 24X - 780 sustituyendo los valores X1 = 50 y X2 = 15 en la segunda derivada:

V” = 24 (50) - 780 = 420 por ser positivo, hay un mínimo para X = 50

V” = 24(15) - 780 = - 420 por lo tanto se encuentra el maximo que buscamos en X = 15

Al sustituir an la funcion V = 4X^3 - 390X^2 + 9000X el valor X = 15, encontramos el volumen maximo de la caja:

V = 4(15) 3 - 390 (15)2 + 9000 (15)

V = 60750 cm3

La altura debe ser X = 15cm

La longitud es (120 - 2X) = 120 - 2(15) = 90 cm.

La anchura es (75 - 2X) = 75 - 2(15) = 45 cm.

Ojalá te sirva!

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