Los números Enteros

Los números enteros

Los números enteros son una generalización del conjunto de números naturales que incluye números enteros negativos (resultados de restar a un número natural otro mayor), además del cero. El hecho de que un número sea entero, significa que no tiene parte decimal. Los números enteros negativos pueden aplicarse en diversos contextos, como la representación de profundidades bajo el nivel del mar, temperaturas bajo cero, o deudas, entre otros.

Es decir, los números enteros están formados por un conjunto de enteros positivos que podemos interpretar como los números naturales convencionales, el cero, y un conjunto enteros negativos que son los opuestos de los naturales (éstos pueden ser interpretados como el resultado de restar a 0 un número natural).

Los enteros se representan gráficamente en la recta de números enteros como puntos a un mismo espacio entre sí desde menos infinito, ..., -3 , -2, -1, 0, 1, 2, 3,... hasta más infinito: los números enteros no tienen principio ni fin.

Los números negativos pueden aplicarse en distintos contextos, como la representación de deudas, profundidades bajo el nivel del mar, temperaturas bajo cero, entre otros. Inicialmente el primer campo de aplicación fue la contabilidad donde los números negativos significaban deudas y los positivos haberes o activos poseídos. El hecho de que un número sea entero, significa que no tiene parte decimal. Imaginemos que disponemos de dos barras de chocolate, cada una con tres divisiones, las cuales van a repartirse entre tres personas. Es claro que esta operación puede realizarse convenientemente si a cada persona le tocan dos partes de las tres que tiene cada barra. Ahora bien, imaginemos que tenemos 7 balines (esferas de metal) que queremos repartir entre las mismas tres personas. Es claro que no puede partirse un balín para que a cada persona le toque la misma cantidad de balines, así que a cada uno le deben tocar dos balines y regalar uno para que la repartición sea justa, o bien conseguir otros dos balines para que a cada uno le toquen tres.

Los balines ilustran así, por analogía, los números enteros: números que no pueden dividirse, a menos que la división sea exacta, por decir:

8/4 sí es exacta: 8/4 = 2 y es un entero, pero 8/3 no es exacta y no puede ser, en consecuencia, un número entero.

Los números negativos adquieren carta de naturaleza cuando se empieza a visualizar, representándolos sobre la recta numérica. Los primeros en utilizar los números negativos fueron los chinos. Su éxito se debió a que fueron capaces de visualizar al utilizar como máquina de calcular unos ábacos con bolas negras para números positivos y rojos para los números negativos.

Los números enteros pueden ser sumados y restados, multiplicados y comparados. Si la división es exacta, también pueden dividirse dentro del mismo conjunto de los enteros.

El conjunto de los números enteros es el conjunto que contiene a los números cardinales y los enteros negativos, representados por la letra mayúscula I. Esto es,

I = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

El conjunto de los números enteros esta formado por los: enteros positivos, negativos y el cero.

a) Enteros positivos (los naturales): son los números que tienen delante el signo + y los

representamos por Z+.

Z+= {+1, +2, +3, +4 . . .}

Un entero positivo se puede representar con el signo (+) o sin ningún signo.

Por ejemplo: {+1, +2, +3, +4 . . .} = {1, 2, 3, 4 . . .}

Podemos decir que Z+ " Z

b) Enteros negativos: Son los números que tienen delante el signo ( - ) y los representamos por Z-

Z- = {…. -3, -4 -2, -1.}

Reglas para efectuar operaciones con los números enteros

A. Adición

Positivo + Positivo: Se suman los valores absolutos y se mantiene el mismo signo.

Ejemplos: 8 + 7 = 15; 5 + 11 = 16

Negativo + Negativo: Se suman los valores absolutos y se mantiene el mismo signo.

Ejemplos: -12 + -4 = -16; -9 + - 6 = - 15

Positivo + Negativo o Negativo + Positivo: Se halla la diferencia de los valores absolutos de los números. El resultado es positivo, si el número positivo tiene el valor absoluto mayor. El resultado es negativo, si el número negativo tiene el valor absoluto mayor.

Ejemplos: 13 + -6 = 7; 19 + - 11 = 8; -14 + 6 = -8; -12 + 7 = -5; 3 + (-3) = 0

B. Sustracción

Cuando se restan números enteros, se cambia el ejercicio de resta a la suma de su opuesto. El número que está siendo restado se llama sustraendo. El sustraendo es el número que está después del signo de resta. El signo de resta se reemplaza por el signo de suma y se busca el opuesto del sustraendo. Luego de transformar el ejercicio de resta a suma, se procede con las reglas de suma de números enteros. Esto es, si a y b son enteros, entonces, a – b = a + (- b).

Ejemplos: 8 – 12 = 8 + (-12) = -4

8 – (-12) = 8 + 12 = 20

-2 – (-10) = -2 + 10 = 8

-2 – 10 = -2 + (-10) = -12

C. Multiplicación

Positivo x Positivo = Positivo

Positivo x Negativo = Negativo

Negativo x Positivo = Negativo

Negativo x Negativo = Positivo

Ejemplos: 3 x 5 = 15: 3 x (-5) = -15; -3 x 5 = -15; -3 x (-5) = 15

D. División

Positivo ÷ Positivo = Positivo

Positivo ÷ Negativo = Negativo

Negativo ÷ Positivo = Negativo

Negativo ÷ Negativo = Positivo

Ejemplos: 28 ÷ 4 = 7; 28 ÷ (-4) = -7; -28 ÷ 4 = -7; -28 ÷ (-4) = 7

Lectura y escritura de un número entero negativo:

- 1 negativo o menos uno

- 10 negativo o menos 10

c. El cero: Número entero que no es positivo ni negativo.

Por lo tanto, el conjunto de los números enteros es la unión de tres conjuntos a saber:

Z = Z+ U {0} U Z-

Z = { . . . -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, . . .}

• Representación de los números enteros como puntos en una recta.

Para representar gráficamente los números enteros los asociamos a puntos en una línea recta extendida indefinidamente, en cada una de las dos direcciones ubicando el cero en la parte central de la línea y localizaremos puntos a la izquierda y derecha del cero. Así:

• Números opuestos

Dos números enteros que se encuentran a la misma distancia del cero, pero en sentido contrario uno del

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