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CLASIFICACIÓN DE ERRORES

En los cálculos numéricos solo en raras ocasiones los datos proporcionados son exactos, puesto que suelen originarse en procesos de medida, de modo que hay un error probable en la información de entrada. Además, el propio algoritmo introduce error, quizá redondeos inevitables. La información de salida contendrá entonces errores generados por ambas fuentes.

El error podemos definirlo como la discrepancia entre la magnitud “verdadera” y la obtenida, siendo dichas magnitudes los resultados de la medición.

La exactitud, la precisión y los dígitos significativos son por tanto conceptos fundamentales relacionados con los errores.

La exactitud se refiere a la cercanía de un número o de una medida al valor verdadero que se supone que representa.

La precisión se refiere al número de cifras significativas que representa una cantidad, a esto nos referimos cuando hablamos de doble precisión con cualquier máquina que estemos utilizando.

Los dígitos significativos son aquellos números diferentes de cero, en una cifra leyendo de izquierda a derecha, empiezan por el primer dígito distinto de cero y terminan con el tamaño que permitan las celdas que guardan la mantisa (fracción decimal que sigue la característica de un logaritmo; siempre es positiva).

Tenemos distintos tipos de errores como:

- Errores inherentes o heredados: son aquellos errores en los valores numéricos con que se va a operar, pueden deberse a dos causas: sistemáticos o accidentales.

- Errores sistemáticos: son debidos a la imprecisión del aparato de medición

- Errores accidentales: son lo debidos a la apreciación del observador y otras causas de esta índole.

- Error de truncamiento: son los debidos a la interrupción de un proceso matemático antes de su culminación. Sucede cuando se toman sólo algunos términos de una serie infinita o cuando se toma solo un número finito de intervalos. Un caso adicional de error de truncamiento ocurre cuando una calculadora poco sofisticada sólo toma en cuenta los dígitos que caben en la pantalla y no analiza el primer dígito perdido.

- Error de redondeo: es el debido a las limitaciones propias del aparato para representar cantidades que requieren un gran número de dígitos.

Para este tipo de redondeo tendremos que aplicar las reglas conocidas de este como el redondeo de un número cuya última cifra significativa sea igual o mayor a 5; solo tomar 1 cifra significativa de cualquier valor dado con la excepción de sí la primera de estas es un 1 por lo cual tendremos que tomar 2 cifras significativas...

Aunque nuestra perspectiva de análisis está orientada a las aplicaciones empleamos la teoría de apoyo para descubrir algoritmos y establecer su validez.

Ejemplo de la teoría de apoyo: El cálculo de las funciones trigonométricas, exponenciales y otras funciones elementales dependen de esta teoría; probemos con la obtención del coseno de x para valores pequeños de esta:

Cos x= 1 – x2/ 2! + x4 /4! – x6/6! +...

Con x=5 esto se convierte en:

Cos 5= 1 - 0.125 + 0.0026041 - 0.0000217 +... = 0.877582

Resultado que tendrá más exactitud cuantos más términos tomemos de la serie. El límite de error en este ejemplo está garantizado por la teoría matemática de apoyo, que establece que para series como ésta el error no es mayor que el primer término omitido; aquí en primer término omitido es x8/8!, que para x=5 asciende a poco menos que 0.0000001.

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