Mediatriz

Mediatriz

La mediatriz de un segmento es la línea recta perpendicular a dicho segmento trazada por su punto medio. Equivalentemente se puede definir como el lugar geométrico — la recta — cuyos puntos son equidistantes a los extremos del segmento. También se le llama simetral.

Bisectriz

La bisectriz de un ángulo es la recta que pasa por el vértice del ángulo y lo divide en dos partes iguales. Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan (están a la misma distancia) de las semirrectas de un ángulo.

Lugar geométrico

Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas condiciones o propiedades geométricas.

Superficie de revolución

Una superficie de revolución es aquella que se genera mediante la rotación de una curva plana, o generatriz, alrededor de una recta directriz, llamada eje de rotación, la cual se halla en el mismo plano que la curva. Ejemplos comunes de una superficie de revolución son:

• Una superficie de revolución cónica es generada por la rotación de una recta alrededor de un eje al cual interseca en un punto, llamado vértice o ápice, de forma que el ángulo bajo el que la generatriz corta al eje es constante; la superficie cónica delimita al volumen denominado cono.

Sección cónica

Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas resultantes de las diferentes intersecciones entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Se clasifican en cuatro tipos: elipse, parábola, hipérbola y circunferencia.

¿Qué es una circunferencia?

De manera formal, una circunferencia se define como el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de otro, llamado centro de la circunferencia.

No debemos nunca confundir el concepto de círculo con el concepto de circunferencia, que en realidad una circunferencia es la curva que encierra a un círculo (la circunferencia es una curva, el círculo una superficie).

A continuación vemos una imagen de una circunferencia.

En realidad, y de manera más sencilla, una circunferencia es el conjunto de puntos situados en el plano todos a la misma distancia de un mismo punto central, al que llamaremos centro, y del que hablaremos más adelante con detalle en la parte de elementos básicos de la circunferencia.

Elementos básicos

En la imagen expuesta arriba se pueden ver todos los elementos que vamos a nombrar a continuación:

• Centro: punto central que está a la misma distancia de todos los puntos pertenecientes a la circunferencia.

• Radio: pedazo de recta que une el centro con cualquier punto perteneciente a la circunferencia.

• Cuerda: pedazo de recta que une dos puntos cualquiera de una circunferencia.

• Diámetro: mayor cuerda que une dos puntos de una circunferencia. Hay infinitos diámetros y todos pasan por el centro de la circunferencia.

• Recta secante: recta que corta dos puntos cualesquiera de una circunferencia.

• Recta tangente: recta que toca a la circunferencia en un solo punto y es perpendicular a un radio.

Ecuación de la circunferencia

Determinación de una circunferencia

Una circunferencia queda determinada cuando conocemos:

Tres puntos de la misma, equidistantes del centro.

El centro y el radio.

El centro y un punto en ella.

El centro y una recta tangente a la circunferencia.

También podemos decir que la circunferencia es la línea formada por todos los puntos que están a la misma distancia de otro punto, llamado centro.

Esta propiedad es la clave para hallar la expresión analítica de una circunferencia (la ecuación de la circunferencia).

Entonces, entrando en el terreno de la Geometría Analítica, (dentro del Plano Cartesiano) diremos que ─para cualquier punto, P (x, y), de una circunferencia cuyo centro es el punto C (a, b) y con radio r─, la ecuación ordinaria es

(x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2

¿Qué significa esto?

En el contexto de la Geometría Analítica significa que una circunferencia graficada con un centro definido (coordenadas) en el Plano Cartesiano y con radio conocido la podemos “ver” como gráfico y también la podemos “transformar” o expresar como una ecuación matemática.

Así la vemos Así podemos expresarla

Donde:

(d) Distancia CP = r

y

Fórmula que elevada al cuadrado nos da

(x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2

También se usa como

(x ─ h)2 + (y ─ k)2 = r2

Recordar siempre que en esta fórmula la x y la y serán las coordenadas de cualquier punto (P) sobre la circunferencia, equidistante del centro un radio (r). Y que la a y la b (o la h y la k, según se use) corresponderán a las coordenadas del centro de la circunferencia C(a, b).

FORMA GENERAL DE LA ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA

Elevando al cuadrado obtenemos la ecuación:

Si desarrollamos:

y realizamos estos cambios:

Obtenemos otra forma de escribir la ecuación:

Donde el centro es:

y el radio cumple la relación:

Para que una expresión del tipo: sea una circunferencia debe cumplir que:

1. Los coeficientes de x2 e y2 sean iguales a la unidad. Si tuvieran ambos un mismo coeficiente distinto de 1, podríamos dividir por él todos los términos de la ecuación.

2. No tenga término en xy.

3.

Parábola

En matemáticas, una parábola (del griego παραβολή) es la sección cónica resultante de cortar un cono recto con un plano cuyo ángulo de inclinación respecto al eje de revolución del cono sea igual al presentado por su generatriz. El plano resultará por lo tanto paralelo a dicha recta. Se define también como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta llamada directriz y un punto exterior a ella llamado foco. En geometría proyectiva, la parábola se define como la curva envolvente de las rectas que unen pares de puntos homólogos en una proyectividad semejante o semejanza.

La parábola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas debido a que su forma se corresponde con las gráficas de las ecuaciones cuadráticas. Por ejemplo, son parábolas las trayectorias ideales de los cuerpos que se mueven bajo la influencia exclusiva de la gravedad (ver movimiento parabólico y trayectoria balística).

Una parábola queda definida por el conjunto

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