Presentacion

Sustituyendo, obtenemos:

∫exsenx dx = −ex cos x + ∫ex cos x = exsenx − ex cos x − ∫exsenx

∫exsenx dx = exsenx − ex cos x − ∫exsenx

de donde podemos despeja a la integral

2∫exsenx dx = exsenx − ex cos x

y en consecuencia

e senx dx e senx e x c

x x

∫ x = − + 2

cos

A continuación abordaremos unos ejemplos en que, debido a la gran cantidad de

posibilidades debe tenerse un criterio preciso para decidir sobre la elección de u y dv.

Ejemplo 7. Encuentre ∫ x3ex2 dx

Solución. En este tipo de funciones a integrar, hay muchas maneras de expresar al

integrando como un producto:

u = x3, dv = ex 2 dx; u = x2, dv = x ex 2 dx; u = x, dv = x2 ex 2 dx; u = 1, dv = x3 ex 2 dx;

u = x3 ex 2 dx, dv = dx, etc.

¿Cuál de estas opciones elegir?

Lo primero que debemos hacer es asegurarnos que en nuestra elección, dv sea una función

fácil de integrar. Si examinamos con detalle las opciones, sólo la opción

u = x2, dv = x ex2 dx cumple con esto ya que dv es fácil integrar por un simple cambio de

variable:

v = ∫ xex dx = ∫ xex dx = ex + c 2 2 2

2

2 1

2

1

Así pues el cuadro para la integración por partes será:

u = x2 v = 2

2

1 ex

du = 2x dx dv = xex 2 dx

∫ x ex dx = x ex − ∫ xex dx = x ex − ex + c 2 2 2 2 2

2

1

2

1

2

3 1 2 2

Ejemplo 8. Encuentre ∫ x9 6 − 3x5 dx

Solución. Con un criterio similar al del caso anterior, tomamos la siguiente elección:

u = x5 v = 2

3

(6 3 5 )

45

− 2 − x

du = 5x4 dx dv = x4 6 − 3x5 dx

donde 2

3

2 5

1

4 5 4 5 (6 3 )

3

2

15

15 (6 3 ) 1

15

1 3 6 x dx x x dx x x dv v − 















= ∫ =∫ − = − ∫ − − =  −

x x dx x x x x 2 dx

3

2 4 5

3

5

5

9 5 (6 3 )

45

(6 3 ) 10

45

∫ 6 − 3 = − 2 − + ∫ −

= x x x x dx 2

3

2 4 5

3

5

5

15 (6 3 )

15

1

45

(6 3 ) 10

45

2 − − 







 − 







 − − + ∫

= 2

5

2 5

3

5

5

(6 3 )

5

2

135

(6 3 ) 2

45

2 x x x − 











...