ANÁLISIS DE UNA FUNCIÓN DE INGRESOS TOTALES

Suponga que la demanda para fabricación semanal de discos duros externos está dada por la ecuación:

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Donde 𝑥 representa la cantidad de productos fabricados y 𝑝 representa el precio (en dólares) por cada producto fabricado.

Usted es contratado como consultor y llamado a formar parte de un equipo de trabajo interdisciplinar para realizar ciertos análisis de interés para una importante compañía. Dicha compañía está interesada en estudiar la función de ingresos totales provenientes de la fabricación de ese producto, para lo cual, el equipo de trabajo a trazado la siguiente ruta de actividades.

1. Encuentre la función de ingresos totales (𝑥), la cual dependa de la cantidad de productos fabricados.

Los ingresos totales I(x), vienen dados por la siguiente ecuación:

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En el encabezado se muestra la función que relaciona a p con  x. 

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Obteniendo como objetivo la función para los ingresos totales de la compañía, dependiendo de la cantidad de productos:

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1. Grafique la función de ingresos totales usando algún software matemático (que no sea Excel puesto que no es un software matemático). Se recomienda usar Geogebra, Graph calc, Wolfram mathematica o cualquiera que encuentre apropiado. La gráfica deberá ser suficientemente clara para interpretar la escala y las unidades de los ejes coordenados.

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Ilustración 1 Relación entre ingresos y cantidad de productos, hecha en el software DESMOS

1. De acuerdo al contexto y la gráfica, determine el dominio y rango de la función de ingresos totales.

El dominio de la función ingresos son todos los valores Reales positivos:

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El rango de la función ingresos son todos los valores Reales menores que el valor máximo de la misma función.

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ACTIVIDAD 2

1. ¿A qué valor tienden los ingresos cuando la producción se acerca a su capacidad máxima? Justifique su respuesta usando el concepto de límite, de forma gráfica y algebraica.

La cantidad máxima de producción que puede tener la empresa es cuando esta no entra en pérdidas, por lo tanto ese valor de producción sería cuando los ingresos tomar el mínimo valor (cero):

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Gráficamente se puede observar también este punto:

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1. Encuentre la función de ingresos marginal. Sugerencia: puede hacerlo de forma manual o usar algún software.

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1. Cuál es el nivel de producción que maximiza los ingresos totales y cuál es ese ingreso máximo? Sugerencia: use la gráfica de la actividad anterior o use la derivada.

Para encontrar la producción máxima solo basta con hacer cero los ingresos marginales:

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Obteniendo con esta producción unos ingresos totales por el valor de:

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