EL NACIMIENTO DEL CÁLCULO

APUNTES DE HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS VOL.1, NO.1, ENERO 2002

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EL NACIMIENTO DEL CÁLCULO

Martha Cristina Villalba y Gtz.

INTRODUCCIÓN

Ciertas prácticas didácticas –particularmente aquí en México- tienden a dejarnos la idea de

que los avances de la ciencia -y de la cultura en general- se deben a hechos gloriosos y

descubrimientos geniales llevados a cabo por personajes heroicos, privilegiados, en quienes

descansa el mérito absoluto del desarrollo científico, artístico y tecnológico que sustenta la

evolución de la cultura. Sin embargo, como resultado de un estudio más veraz, nos damos

cuenta de que detrás de cualquier invento o descubrimiento existe, infaliblemente, la

evolución de ideas que hacen su génesis posible. Un esfuerzo como el emprendido en este

Seminario de Historia de las Matemáticas nos ofrece un espacio de reflexión acerca del

enorme acervo de conocimiento que a través de los años se acumula, se desarrolla y

evoluciona para dar lugar, en algún momento en particular y a través de algún personaje en

especial, a la génesis de una idea “nueva” que por su circunstancia deviene en un

descubrimiento importante para el estado actual de la ciencia y es, por lo tanto, reconocida

como tal.

En particular, el nacimiento del cálculo -consignado en el siglo XVII- atribuido a Newton y

Leibniz, nos permite ilustrar claramente lo dicho: Estos dos hombres han sido considerados

como los inventores del cálculo en el sentido de que dieron a los procedimientos

infinitesimales de sus predecesores inmediatos, Barrow y Fermat, la unidad algorítmica y la

precisión necesaria para ser considerados como un método novedoso y de generalidad

suficiente para su desarrollo posterior. A su vez, los procedimientos de Barrow y Fermat

estuvieron elaborados a partir de visiones de hombres como Torricelli, Cavalieri, y Galileo;

o Kepler, Valerio, y Stevin. Los alcances de las operaciones iniciales con infinitesimales

que estos hombres lograron, fueron también resultado directo de las contribuciones de

Oresme, Calculator, Arquímedes y Eudoxo. Finalmente el trabajo de estos últimos estuvo

inspirado por problemas matemáticos y filosóficos sugeridos por Aristóteles, Platón, Zenón

y Pitágoras. Sin la filiación de ideas como las de éstos y de muchos otros hombres más, el

cálculo de Newton y Leibniz sería impensable.

Por otro lado, debe entenderse que el progreso de las ideas no se da en el tiempo a través de

una trayectoria perfectamente delineada y preconcebida; existen muchos elementos que en

el camino son descartados, reformulados o añadidos. Las concepciones filosóficas sobre la

realidad, el papel de la ciencia, y en especial las concepciones sobre las características que

debe reunir el conocimiento matemático para ser considerado como conocimiento

científico, han determinado los enfoques asumidos en cada época, de tal manera que el

impacto que tuvieron los personajes y las contribuciones consignadas en la historia

difícilmente puede ser comprendida cabalmente si estas consideraciones no se toman en

cuenta.APUNTES DE HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS VOL.1, NO.1, ENERO 2002

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Con estas reflexiones en mente, la relación de algunas aportaciones que hicieron posible el

nacimiento del Cálculo y que a continuación trataremos de resumir, tiene la finalidad de

que cada uno de nosotros encuentre más interés en dar apoyo y mejores significaciones a

cada uno de los conceptos que hasta ahora conforman nuestro conocimiento de esta

disciplina. Este es, insisto, tan sólo un breve resumen de algunas aportaciones importantes –

que posiblemente deje muchas sin considerar-, por lo tanto, no más que una invitación a

una indagación más profunda sobre las ideas y los hechos presentados.

PERSONAJES Y CONTRIBUCIONES EN LA ANTIGÜEDAD

El trabajo prehelénico de los Egipcios y Babilonios, aunque tuvo una ausencia de

generalidad y atención a las características esenciales sobre la naturaleza lógica del

pensamiento matemático y su necesidad de pruebas deductivas, logró un acervo tal de

cálculos y procedimientos concretos, que tuvo sin duda, una clara influencia en los trabajos

iniciales de los filósofos y matemáticos griegos:

 Tales de Mileto. Fue quien inicialmente introdujo los métodos deductivos

– no exentos de cierto empirismo y falta de generalidad- a través de procesos

sistemáticos de abstracción, que ciertamente fueron la base para los Pitagóricos.

Para ellos la perfecta consonancia de la realidad observada con la naturaleza de los

conocimientos matemáticos les llevaron a pensar que las matemáticas estaban en

la realidad última, en la esencia del universo y por lo tanto, “un entendimiento de los

principios matemáticos debía preceder cualquier interpretación válida de la

naturaleza”. “Todo es número”. “Dios es un Geómetra”.

 Zenón de Elea (450 a. de C. aprox.), formuló un buen número de

problemas (paradojas) basados en el infinito.

Para los antiguos griegos, los números como tales eran razones de números

enteros, por lo que no todas las longitudes eran números. (Existían magnitudes

geométricas que no podían ser medidas por números; números como entidades

discretas vs magnitudes geométricas continuas.)

 Eudoxo (408 a. de C. - 355 a. de C.) de Cnido, Asia Menor (Turquía).

– Método de Exhaución. El método se llama así porque se puede pensar en

expandir sucesivamente áreas conocidas de tal manera que éstas den

cuenta ("dejen exhausta") del área requerida. Cobra importancia como

recurso para hacer demostraciones rigurosas en geometría.

 Arquímedes (225 a.de C.) de Siracusa. Hizo una de las más significativas

contribuciones griegas. Su primer avance importante fue mostrar que el área de

un segmento de parábola es 4/3 del área de un triángulo con la misma base y

vértice, y 2/3 del área del paralelogramo circunscrito. Éste es el primer ejemplo

conocido de la adición de una serie infinita. Arquímedes utilizó el método de

exhaución para encontrar una aproximación al área del círculo. Por supuesto,

es un ejemplo temprano de integración, el cual condujo a aproximar valores de

 . Entre otras “integrales”

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