Ejercicios del libro de Introducción a la econometría de Stock y Watson (Impares)

Considérese el modelo AR(1) [pic 3]. Supongase que el proceso es estacionario.

1. Demuestre que [pic 4]
2. Demuestre que [pic 5]

 Resolución

1. Dado que la distribución de probabilidad de  es la misma que la distribución de probabilidad de  (esta es la definición de estacionariedad), las medias son lo mismo.[pic 6][pic 7]
2. [pic 8]

[pic 9]

Utilizando los mismo datos que en el ejercicio 14.2 , un investigador contrasta la presencia de una tendencia estocástica en ln(,utilizando la siguiente regresión:[pic 11]

[pic 12]

              (0,024)(0,00001)   (0,007)               (0,075)                (0,055)

Donde los errores estándar que aparecen entre paréntesis se calculan utilizando la fórmula válida con homocedasticidad y el regresor «t» es una tendencia lineal.

1. Utilice el estadístico ADF para contrastar la presencia de una tendencia estocástica (raíz unitaria) en la variable ln(IPI).
2. ¿Apoya estos resultados la especificación utilizada en el ejercicio 14.2?.Expliquelo.

Resolución

1. Para probar una tendencia estocastica en ln (IPI), el estadistico ADF es el t estadistico que pruaba la hipotesis de que el coeficiente de ln() es cero en comparación con la hipotesis alternativa de que el coeficiente en ln() es menor que cero.El valor t estadistico calculado es .De la tabla 14.4 , el 10 % del valor critico con una tendencia temporal es de 3.12 .Dado 1.93 , la prueba no rechaza la hipotesis nula de que ln() tiene una raíz autoregresiva al nivel de significancia del 10 %.[pic 13][pic 14][pic 15][pic 16]

Es decir , la prueba no rechaza la hipótesis nula de que ln(IPI) Contiene una tendencia estocástica, frente a la alternativa de que estacionaria.

1. La prueba ADF respalda la especificación utilizada en el ejercicio 14.2 .El uso de las primeras diferencias en el ejercicio 14.2 elimina la tendencia del camino aleatorio  en ln(IPI).

Demuestre los siguientes resultados sobre las medias condicionales, las predicciones y los errores de predicción:

1. Sea W una variable aleatoria con media y varianza y sea una constante. Demuestre que
2. Considérese el problema de la predicción de a partir de los datos sobre . Sea la expresion de alguna predicción de en la que el subíndice de indica que la predicción es una función de los datos hasta el periodo . Sea el error cuadrático medio condicional de la predicción condicionado a la observción de hasta el periodo. Demuestre que el error cuadrático medio de predicción condicional se minimiza cuando , donde
3. Sea el error de la Ecuación (14.14). Demuestre que para

Resolución

1. Del ejercicio (14.1)  [pic 19]

[pic 20]

[pic 21]

1. La primera autocovariancia es:

[pic 22]

[pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

La segunda autocovariancia es:

[pic 26]

[pic 27]

[pic 28]

[pic 29]

1.  La primera autocorrelacion es:

[pic 30]

La segunda autocorrelacion es:

[pic 31]

1. La expectativa condicional de  dada   es:[pic 32][pic 33]

    2.5     2.5     0.7x102.3      74.11[pic 34][pic 35]

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