LA FUNCIÓN POLINOMIAL DE GRADO SUPERIOR

LA FUNCIÓN POLINOMIAL DE GRADO SUPERIOR

1. PARA REALIZAR LA DIVISIÓN DE UN POLINOMIO P(X)=ANXN+A(N-1)X(N-1)+A1X+A0 ENTRE EL BINOMIO X-A, EXISTE UN MÉTODO LLAMADO “DIVISIÓN SINTÉTICA” QUE INVOLUCRA SOLO A LOS COEFICIENTES DEL POLINOMIO.

MEDIANTE ESTE MÉTODO Y EL USO DE ALGUNOS TEOREMAS PODRÁS FACTORIZAR POLINOMIOS DE CUALQUIER GRADO.

UNA VEZ QUE TU PROFESOR HAYA EJEMPLIFICADO EL MÉTODO DE DIVISIÓN SINTÉTICA, RESUELVE EN PAREJAS LAS SIGUIENTES DIVISIONES POR ESTE MÉTODO; INDICANDO EL COCIENTE Y EL RESIDUO.

1. (3x3+2-5x+2x2)÷(x+1)

3 +2 -5 +2   -1[pic 1]

    -3 +1 +4[pic 2]

3  -1  -4 +6  RESIDUO

3x2-x+4

1. (7x3-24x+6)÷(x-2)

+7  0  -24  +6     2[pic 3][pic 4]

   +14  28 +8

7 +14  +4 +14   RESIDUO

7x2+14x+4

2. EL TEOREMA DE LA RAÍZ RACIONAL O A LA PRUEBA DE LA RAÍZ RACIONAL INDICA UNA RESTRICCIÓN EN LAS SOLUCIONES RACIONALES (O RAÍCES) DE LA ECUACIÓN POLINÓMICA CON COEFICIENTES ENTEROS:

P(x)=anxn+a(n-1)x(n-1)+  +a1x+ao=0.

INVESTIGA Y COMENTEN EN PLENARIA ESTE TEOREMA.

1. CON BASE EN EL TEOREMA DE LA RAÍZ RACIONAL, DETERMINA LAS POSIBLES RAÍCES DE LOS SIGUIENTES POLINOMIOS

F(x) = x3 + 5x2 – 2x – 24    

F(-3) = (-3)3 5(-3)2 -2(-3) -24

f(-3) = 0

1   +5   -2   -24           -3 [pic 5][pic 6]

      -3     -6    24  

 1      2       -8   0

  g(1)=2+3-8+3=0

f(x) = 2x3 + 3x2 – 8x – 3    

f(-3) = 2(-3)3 3(-3)2 -8(-3) -3

f(-3) = 0

2    + 3    - 8    + 3            -3 [pic 7][pic 8]

2      -6      9        -3        

        -3     1        0

G(x)= 2x3 + 3x2 -8x + 3

P(x)= x3 -6x-13x + 42

G(1)= 2(1)3 + 3(1) 2 - 8(1) + 3

2+3 - 8 + 3

= 0

2       3         -8          3          1                                (2x2+5x-3) (x-1)[pic 9][pic 10]

         2          5         -3

         5         -3

2                               0

• DE ESTAS POSIBLES RAÍCES, VERIFICA CUALES SON EFECTIVAMENTE ESAS RAÍCES EVALUANDO EN EL POLINOMIO CORRESPONDIENTE:                                        Solo el primero problema porque es posible factorizar en cambio el otro no
• GRÁFICAMENTE ¿QUÉ REPRESENTAN LAS RAÍCES REALES DE UN POLINOMIO? Las raíces de un polinomio son las soluciones de la ecuación f(x)=0

B) EN BINAS O EN EQUIPO, INVESTIGA “TEOREMA DEL RESIDUO” Y CON AYUDA DE TU PROFESOR, EN SESIÓN PLENARIA, COMENTA SU APLICACIÓN.                                     Se divide el polinomio entre el binomio, donde el número real del binomio tiene que ser inverso

2     3     -8     3    1 [pic 11][pic 12]

                                                                     2     5     -3

                                                                     5     -3

                                                              2                     0

C) AHORA CON AYUDA DEL TEOREMA DEL RESIDUO Y USANDO LA DIVISIÓN SINTÉTICA, VUELVE A VERIFICAR LAS RAÍCES DE LOS POLINOMIOS DEL INCISO A) Y COMPARTAN LOS RESULTADOS OBTENIDOS.

1 +5 -2 -24    2                                          2 +3 -8 +3   1[pic 13][pic 14][pic 15][pic 16]

   +2 14  24                                                   +2 +5 -3

1 +7 12   0                                                 2 +5  -3  0

(X2 +7x+12)(x-2)                                             (2x2+5-3)(x-1)

D) EN BINAS O EN EQUIPO, INVESTIGA EL “TEOREMA DEL FACTOR” Y CON AYUDA DE TU PROFESOR, EN SECCIÓN, PLENARIA, COMENTEN SU APLICACIÓN EN LA FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS.                                                                                                     El polinomio P(x) es divisible por un polinomio de la forma ( x- 4) si y solo si p(x=a) = 0

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