La Economia En Mexico

Probabilidad condicionada

Hasta ahora nos hemos limitado a calcular probabilidades ´unicamente partiendo de un experimento

aleatorio, sin tener m´as informaci´on. Pero, ¿qu´e ocurre si conocemos alguna informaci´on adicional?.

Supongamos que estamos realizando el experimento aleatorio de lanzar un dado y obtener el

n´umero que sale. Consideremos el suceso A= “sale un 4”. Evidentemente, p(A) =

1

6

.

Ahora bien, ¿variar´ıa esta probabilidad si al lanzar el dado alguien pasa por all´ı y nos dice que ha

salido un n´umero par?.

Disponemos entonces de una informaci´on adicional, B={2,4,6}.

Hemos reducido nuestro espacio muestral, que ahora s´olo consta de 3 elementos y tenemos que

cambiar las probabilidades asignadas.

Ahora el suceso A no tiene una posibilidad entre 6 de ocurrir, sino una entre tres, es decir, p(A) =

1

3

.

Esta es la idea de la probabilidad condicionada: La informaci´on obtenida B, modifica la probabilidad

de A. Lo expresaremos as´ı: p(A/B) =

1

3

y se lee “probabilidad de A condicionada a B” o

“probabilidad de A conociendo B”.

El caso anterior es muy sencillo, pues directamente podemos calcular p(A/B), pero si el espacio

muestral se ampl´ıa, el problema es m´as complicado. La f´ormula siguiente simplifica el problema.

Definici´on:

Sea A un suceso aleatorio asociado a un experimento aleatorio, y sea B otro suceso que sabemos

que se ha realizado.

Llamaremos probabilidad de A condicionada a B y lo expresaremos por p(A/B) a la expresi´on:

p(A/B) = p(A ∩ B)

p(B)

(de id´entico modo se define p(B/A), escribe la f´ormula).

Ejemplo: Para el caso anterior,

A={4},B={2,4,6} −→ p(B) =

3

6

=

1

2

.

A ∩ B = {4} −→p(A ∩ B) =

1

6

.

Luego:

p(A/B) = p(A ∩ B)

p(B)

=

1

6

1

2

=

2

6

=

1

3

es lo mismo que obten´ıamos antes directamente.

Ejercicios:

1. Calcula la probabilidad de que la suma de las caras de dos dados sea mayor a igual que 10

sabiendo que en el primer dado ha salido un seis.

2. Se lanzan dos dados:¿cu´al es la probabilidad de obtener una suma de puntos igual a siete?.

Si la suma de puntos ha sido 7, ¿cu´al es la probabilidad de que en alguno de los dados haya

salido un 3?

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