Actividad sobre Vectores

Actividad sobre vectores.

Primera parte:

Determina a tal que:

1. Sean  u = – 2i + 5 j

                  v= a i – 2 j

1. Determina a tal que u y v son ortogonales (o perpendiculares).

  = 0 ;   (–2i + 5j) (ai – 2 j) = 0[pic 1]

aplicando el producto escalar tenemos que:

–2a – 10 = 0, despejando tenemos que a = – 5

1. Determina a tal que u  y   v son paralelos.

               = Cos θ = 1 ;  = 1[pic 2][pic 3]

                Despejando a tenemos que:

               25 a2  – 40 a + 16 = 0, resolviendo encontramos que a1 = a2 = 0.8

1. El ángulo entre u y v es  2π / 3.

Sabemos que Cos 2π / 3 = –0.5

Por tanto,  ; [pic 4]

Despejando a tenemos que:

              3.25  a2  – 40 a – 71 = 0, resolviendo encontramos que a1 = 13.88 y  a2 = –1.57

       d)   El ángulo entre u y v es  π / 3.

Sabemos que Cos  π / 3 = 0.5

Por tanto,  ; [pic 5]

Despejando a tenemos que:

              3.25  a2  – 40 a – 71 = 0, resolviendo encontramos que a1 = 13.88 y  a2 = –1.57

Tercera parte:

Determinar si los vectores  u = (1, –3, 0); v = (3, 0, 4)  y  w = (11, –6, 12) son linealmente dependientes o independientes. 

Para probar lo anterior resolveremos la ecuación de dependencia lineal:

α u +  β v + γ w = 0

sustituyendo valores tenemos: α (1, –3, 0) +  β (3, 0, 4)  + γ (11, –6, 12)  = 0

de donde, (α + 3 β + 11 γ,  –3 α –6 γ, 4 β + 12 γ) = ( 0, 0, 0)

Igualando términos:    α + 3 β + 11 γ =  0

                                       –3 α         –6 γ =  0

                                                4 β + 12 γ = 0

Resolviendo el sistema anterior matricialmente:

1.     3      11       0  [pic 6][pic 7][pic 8]

     – 3       0     –6        0      [pic 9]

       0        4       12      0      

[pic 10]

                 1      0      2      0       de donde 0 γ  = 0   y  por lo tanto       γ = a,  con  a ε R[pic 11][pic 12]

                 0      1      3      0        β+ 3  = 0     y  por lo tanto                   β  = – 3

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