ESTRUCTURAS BÁSICAS DE SISTEMAS IIR

Implementacion Sistemas Digitales

Lizeth Katerine Torres Camargo

Facultad de Ingeniería

Programa de Ingeniería Electrónica extensión Tunja

Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia

Tunja, Boyacá - Colombia

lizethkaterine.torres@uptc.edu.co

ESTRUCTURAS BÁSICAS DE SISTEMAS IIR

Forma en cascada

Las estructuras en forma directa se obtienen directamente escribiendo la función de transferencia H(z), como un cociente de polinomios en la variable z−1 como indica la Ecuación (6.27). Si factorizamos los polinomios del numerador y del denominador, podemos expresar H(z) como (6.29):

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[pic 2]

siendo M = M1 +2M2 y N = N1 +2N2. En esta expresión, los factores de primer orden representan ceros reales en fk y polos reales en ck, y los factores de segundo orden representan parejas de ceros complejos conjugados en gk y g∗ k y parejas de polos complejos conjugados en dk y d∗ k . Esto representa la distribución más general de los polos y los ceros cuando todos los coeficientes de la Ecuación (6.27) son reales. La Ecuación (6.29) sugiere una clase de estructuras consistentes en una conexión en cascada de sistemas de primer y segundo orden. Existe una libertad considerable en la elección de la composición de los subsistemas y en el orden en el que se encadenan dichos subsistemas. Sin embargo, en la práctica, es a menudo deseable que la realización en cascada utilice el mínimo de almacenamiento y las mínimas necesidades de cómputo. Se puede obtener una estructura modular que es ventajosa en muchos tipos de realizaciones combinando pares de factores reales y pares de factores complejos conjugados para formar factores de segundo orden, de forma que la Ecuación (6.29) se expresa

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siendo Ns = _(N +1)/2_ el mayor entero inferior a (N +1)/2. Al escribir H(z) de esta forma, hemos supuesto que M ≤ N y que los polos y ceros reales se han combinado en parejas. Si hay un número impar de ceros reales, uno de los coeficientes b2k será cero. Asimismo, si hay un número impar de polos reales, uno de los coeficientes a2k será cero. Cada una de las secciones de segundo orden se puede realizar utilizando cualquiera de las estructuras en forma directa. Sin embargo, la exposición anterior demuestra que se puede realizar una estructura en cascada con un mínimo número de multiplicaciones y elementos de retardo si realizamos cada sección de segundo orden en forma directa II. Las ecuaciones en diferencias representadas de forma general por una combinación en cascada de secciones de segundo orden en forma directa II son

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Es fácil ver que se pueden obtener diversos sistemas equivalentes simplemente emparejando los polos y los ceros de formas diferentes y ordenando las secciones de segundo orden de formas diferentes. De hecho, si hay Ns secciones de segundo orden, existen Ns! (Ns factorial) emparejamientos de los polos con los ceros y Ns! ordenamientos de las secciones de segundo orden resultantes, lo que da un total.

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Forma en paralelo

Una alternativa a la factorización de los polinomios del numerador y del denominador de H(z) es expresar una función de transferencia racional como indica las Ecuaciones (6.27) o (6.29) mediante una descomposición en fracciones simples de la forma

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siendo N = N1 +2N2. Si M ≥ N, entonces Np = M −N; Si no es así, no se incluye la primera suma en la Ecuación (6.34). Si en la Ecuación (6.27) los coeficientes ak y bk son reales, las cantidades Ak, Bk, Ck, ck y ek son todas reales. De esta forma, la función de transferencia se puede representar como una combinación en paralelo de sistemas IIR de primer y segundo orden, posiblemente con Np pasos simples de retardo y escalado. Alternativamente, se pueden agrupar los polos reales en parejas, con lo que H(z) se puede expresar como

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Siendo NS = [(N + 1) / 2] el mayor entero inferior a (N + 1) / 2, como en el caso de la forma en cascada. Si Np=M-N es negativo la primera suma no está presente. La figura 6.20 muestra un ejemplo típico para N =M = 6.

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Las ecuaciones en diferencias generales para la forma en paralelo que utiliza secciones de segundo orden en forma directa II son

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Si M < N, la primera suma de la Ecuación (6.36c) no está incluida.

Celosía

Se puede desarrollar una estructura en celosía para implementar la función de transferencia todo polos H(z) = 1/A(z) a partir de la estructura en celosía FIR de la sección anterior teniendo en cuenta que H(z) es el filtro inverso de la función de transferencia FIR A(z). Para obtener la estructura en celosía todo polos supongamos que tenemos y[n] = a(M)[n], y deseamos calcular la entrada a(0)[n] = x[n]. Esto se puede hacer trabajando de izquierda a derecha para invertir los cálculos.

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