Mecánica de materiales I Deflexión en vigas

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TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AGUASCALIENTES

Mecánica de materiales I

Deflexión en vigas

Nombre de la escuela:

Instituto Tecnológico De Aguascalientes

Carrera:

Ingeniería Mecánica 

Profesor:

M.C. José De Jesús Martínez Pedroza

Materia:

Mecánica de materiales I

Nombre del alumno:

-Ruiz Beltrán Juan Miguel   19150997

Semestre:

4°

Fecha de entrega:

28/04/21

Introducción

Se entiende por deflexión aquella deformación que sufre un elemento por el efecto de las flexiones internas. Los cálculos de deflexión son una parte importante del análisis y diseño estructural, y los ingenieros de diseño normalmente están obligados a verificar que las deflexiones en servicio estén dentro de los límites tolerables dados por las especificaciones y códigos estándar. Hay varios métodos disponibles para el cálculo de deflexiones en estructuras.  El método de integración doble, el método de momento de área, el método de la viga conjugada y el método matricial, etc., y se pueden encontrar en la mayoría de los libros de texto de resistencia de materiales y análisis estructural.  El método de integración doble nos permite determinar no solo la deflexión en cualquier ubicación de las estructuras sino también el perfil de deflexión o la curva elástica de las estructuras. Una viga simplemente, bajo flexión de tres puntos. En el caso de una viga prismática con.

En análisis estructural, se considera a las deflexiones, como la respuesta estructural, por que expresa, un momento de parámetros, que responde, a una acción de cargas aplicadas (muertas, sismos, etc.), las deflexiones son en cantidades no visibles. Las deflexiones, en estructuras, se pueden estimar, mediante métodos de cálculo. La ecuación diferencial de la curva de deflexión (o la curva elástica) de una viga es la siguiente:

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Donde:  

Mz = M = Momento flector con respecto al eje neutro de la viga.

E = Modulo de elasticidad o de Young.

Iz = I = Momento de inercia de la sección transversal con respecto al eje neutro.

EIz = EI = Rigidez a la flexión.  

A partir de la expresión del momento flector de la viga y las condiciones de frontera, se pueden resolver las ecuaciones diferenciales vistas anteriormente y obtener la siguiente curva de deflexión o curva elástica:

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Donde:

y = deflexión en la dirección y (positivo hacia arriba).

y’= dy/dx = pendiente de la curva de deflexión.  

𝛿c= -y (L/2) = deflexión en el punto medio C de la viga (positivo hacia abajo).

𝛿Max= -y Max = deflexión máxima (positiva hacia abajo).

𝜃A= -y’ (0) = ángulo de rotación en el extremo izquierdo de la viga (positivo en sentido horario).  

𝜃B= y’ (L) = ángulo de rotación en el extreme derecho de la viga (positivo en sentido anti horario). (Andes)

Métodos de las funciones singulares

Estas funciones se usan solo para describir la posición de fuerzas concentradas o momentos concentrados que actúan sobre una viga o flecha. Específicamente, una fuerza concentrada P puede considerarse como un caso especial de una carga distribuida, donde la intensidad de la carga es  y su ancho es , donde          →0. El área bajo este diagrama de carga es equivalente a P, positiva hacia arriba, por lo que usaremos la siguiente función de singularidad para describir la fuerza P:[pic 4][pic 5][pic 6]

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De manera similar, un momento concentrado , considerado positivo en sentido horario, es un caso límite cuando →0 de dos cargas distribuidas. La siguiente función describe su valor:[pic 9][pic 10]

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Las funciones de singularidad hacen posible representar el esfuerzo cortante (V) y el momento flector (M) por medio de expresiones matemáticas únicas. Para determinar la función singular que exprese la carga aplicada, fuerza cortante o momento flector sobre una viga en función de la distancia x al extremo de referencia, se multiplica la adecuada función (ver tabla de funciones singulares) por el valor de la intensidad de la carga. Para todas y cada una de las cargas, momentos y reacciones se reemplaza β por el vector de la distancia entre el extremo de referencia y el punto donde comienza aplicarse la carga.

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La integración de las dos funciones de singularidad anteriores sigue las reglas de cálculo operacional y da resultados diferentes a los de las funciones Macaulay.

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Aquí, solo el exponente n se incrementa en uno y ninguna constante de integración se asocia con esta operación. Y debe ponerse atención a los signos de las cargas externas al momento de comenzar con la operación. Antes de finalizar   se debe tener en cuenta que el uso de estas funciones de discontinuidad implica que la carga distribuida debe extenderse hasta el extremo derecho la viga para que sea válida.  Si n ocurre así, se usa el método de superposición de cargas. (Marquez, 2015)

Ejemplo:

La viga que se muestra en la figura, soporta una carga uniforme sobre su mitad izquierda, está sustentada en el centro por un cable vertical y soporta una carga concentrada de 80. El cable de acero de 5 de longitud y 5  de sección tiene ,mientras que la viga de madera tiene . Determinar la tensión en el cable de acero y calcular la flecha máxima de la viga.[pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19]

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Solución: En el DCL de la viga, hacemos uso del artificio conocido como el “quita y pon”. El alargamiento del cable CD es igual a la flecha de la viga en esa posición.

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Método de área de momentos

El método de área-momento proporciona un procedimiento semi-gráfico para encontrar la pendiente y el desplazamiento en puntos específicos sobre la curva elástica de la viga. La aplicación de este método requiere el cálculo de áreas asociadas con el diagrama de momento flector de la viga; si el diagrama consta de formas geométricas sencillas, el método resulta muy fácil de usar.

Normalmente este es el caso cuando la viga está cargada con fuerzas y momentos concentrados. El método es bastante rápido y simple, pero en general se usa para calcular la deflexión de solo uno a unos cuantos puntos de la viga. Su uso requiere un elevado nivel de comprensión del principio de momentos y de las técnicas para preparar diagramas de momento flector.

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