Metodo SOR

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METODO SOR

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INDICE

INTRODUCCIÓN        3

BIOGRAFÍA DE RICHARD V. SOUTHWELL        4

DEMOSTRACIÓN        5

CONCEPTOS BÁSICOS        6

        Convergencia:        6

        Tasa De Convergencia        6

        Vector        6

        Matriz        7

ALGOTIRMO DEL METODO DE SOR        8

CODIGO MATLAB        9

EJEMPLOS EM MATLAB ……………………………………………………………………………………………… 11

CONCLUSIONES        13

BIBLIOGRAFÍAS        14

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INTRODUCCIÓN

El método SOR (Succesive Over Relaxation), se creó para acelerar la convergencia de Gauss- Seidel sobre todo para cálculos manuales.

A Partir del esquema de Gauss-Seidel, podemos reescribir la expresión como:

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Por lo que nos queda como:

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Una de las estrategias para acelerar la convergencia consiste en hacer cero el componente de mayor valor absoluto del residuo.

Sin embargo, Southwell y sus colaboradores se dieron cuenta que era llevar a cero la componente máxima del residuo, era menos eficiente que relajarlo a un valor más allá de cero (sobre relajación), pues una componente nula del residuo, puede hacer crecer a las demás componentes.

Partiendo de la expresión de Gauss-Seidel, y afectando por un valor  se puede obtener una mejora en la velocidad de convergencia.[pic 12]

Se puede demostrar que si el valor  es mayor a 2 el método diverge, si el valor de  es menor a 2 y mayor a 1 se denomina sobre-relajación y si es menor a 1 Sub-relajación.[pic 13][pic 14]

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BIOGRAFÍA DE RICHARD V. SOUTHWELL

Sir Richard Vynne Southwell, (2 de julio de 1888 - 9 de diciembre de 1970) fue un matemático británico especializado en mecánica aplicada como académico de ciencias de la ingeniería.

Richard Southwell se educó en la Escuela Norwich y en la Universidad de Cambridge, donde en 1912 logro resultados de primer grado en los tripos de ciencias matemáticas y mecánicas. En 1975 se convirtió en miembro de Trinity College de Cambridge y profesor de ciencias mecánicas.

South estuvo en el Servicio Aéreo Naval Real durante la Primera Guerra Mundial. Después de ésta fue jefe de las Divisiones de Aerodinámica y Estructuras en el Royal Aircraft Establishment, Farnborough.  

En 1920, se mudó al Laboratorio Nacional de Física. Luego regresó a Trinity College en 1925 como miembro y profesor de matemáticas. Luego en 1929 se mudó a la Universidad de Oxford como profesor de ciencias de la ingeniería y miembro del Brasenose College. Aquí, desarrollo un grupo de investigación, que incluye a Derman Christopherson, con el cual trabajo en el método de relajación. Se convirtió en miembro de varios comités técnicos gubernamentales del Reino Unido, incluso para el ministerio del Aire. En el momento en que se concibieron las aeronaves R100 y R101.

Como científico, Southwell desarrollo métodos de relajación para resolver ecuaciones diferenciales parciales en ingeniería y física teórica durante las décadas de los 1930 y 1940. Las ecuaciones tuvieron primero que ser discretizadas por los métodos de diferencias finitas. Entonces, los valores de la función de las cuadriculas tendrían que ser ajustados iterativamente para que se satisfaga la ecuación discretizada.

En ese momento, las computadoras digitales no existían, y los cálculos tenían que hacerse a mano. Southwell desarrolló varias técnicas para acelerar los cálculos. Por ejemplo, en 1935, utilizó múltiples cuadrículas para ese propósito, una técnica que luego se elaboraría en el método de cuadrícula múltiple.

Southwell fue Rector en el Imperial College de Londres desde 1942 hasta su retiro en 1948.  Continuó su investigación en el Imperial College. También participó en la apertura de una nueva residencia de estudiantes, Selkirk Hall.

DEMOSTRACIÓN

Dado un sistema cuadrado de n ecuaciones lineales con x desconocido Ax + b donde 

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Entonces A puede descomponerse en un componente diagonal D, y los componentes triangulares L y U estrictamente inferiores y superiores   A = D + L + U

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El sistema de ecuaciones lineales puede reescribirse de la siguiente manera

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para una constante ω > 1, llamada factor de relajación.

El método de sobre-relajación resuelve el lado izquierdo de esta expresión para x, utilizando el valor anterior para x en el lado derecho. Analíticamente, esto puede escribirse como

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dónde  es la k aproximación o iteración de x y  es la siguiente iteración o k + 1 de x. Sin embargo, al aprovechar la forma triangular de ( D + ωL ), los elementos de x ( k +1) se pueden calcular secuencialmente utilizando la sustitución directa[pic 20][pic 21]

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CONCEPTOS BÁSICOS

• Convergencia:

En la convergencia la elección del factor relajación  no es necesariamente fácil y depende de las propiedades de la matriz de coeficientes. En 1947 Ostrowski demostró que si la matriz A es simétrica y positiva entonces definio que  que esta dentro de los parametros por lo tanto sigue la convergencia del proceso de iteración, pero generalmente estamos interesados en una convergencia más rápida en lugar de solo la convergencia.[pic 23][pic 24]

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