Pau programacion lineal

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PAU: PROGRAMACIÓN LINEAL

1. Una confitería es famosa por su dos especialidades de tartas: la tarta Imperial y la tarta de Lima. la tarta Imperial requiere para su elaboración medio kilo de azúcar y 8 huevos y tiene un precio de venta de 8 €. La tarta de Lima necesita 1 kilo de azúcar y 8 huevos, y tiene un precio de venta de 10 €. En el almacén les quedaban 10 kilos de azúcar y 120 huevos.

1. ¿Qué combinaciones de especialidades pueden hacer?. Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones.
2. ¿Cuántas unidades de cada especialidad han de producirse para obtener el mayor ingreso por ventas?

Solución:

a) Sean x = "número de tartas tipo Imperial" e y = "número de tartas tipo Lima"

Se hace la tabla para establecer las restricciones:

⎧x ≥ 0 , y ≥ 0        ⎧x ≥ 0 , y ≥ 0

⎪        ⎪

⎨0,5 x + y ≤ 10

⎪ 8x + 8 y ≤ 120

        ⎨x +2y ≤ 20

⎪x +y ≤ 15

⎩        ⎩

La función objetivo, que representa los ingresos por ventas, y que considerando las restricciones anteriores hay que maximizar: z = f(x, y) = 8x + 10 y

Se representan el conjunto de restricciones y la recta 4x + 5y = 0, que da la dirección de las rectas z = f(x,y) = 8x + 10 y

⎧ x + y = 15[pic 2]

b) ⎩x + 2y = 20

 x = 10        y = 5

z = f(x,y) = 8x + 10 y

(0,10):        f(0,10) = 10. 10 = 100[pic 3]

(15,0):        f(10,5) = 8. 15 = 120

El mayor ingreso se obtiene con 10 tartas Imperiales y 5 tartas de Lima.

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1. Un comerciante acude a cierto mercado a comprar naranjas con 500 €. Le ofrecen dos tipos de naranjas: las de tipo A a 0,5 € el kg y las de tipo B a 0,8 € el kg.

Sabemos que solo dispone en su furgoneta de espacio para transportar 700 kg de naranjas como máximo y que piensa vender el kilo de naranajas de tipo A a 0,58 €

y el de tipo B a 0,9 €. ¿Cuántos kilogramos de naranjas de cada tipo deberá comprar para obtener beneficio máximo?

Solución:

Sean x = "kg de naranjas de tipo A" e y = "kg de naranjas de tipo B"[pic 5]

Las restricciones del problema son:

⎧x ≥ 0 , y ≥ 0        ⎧x ≥ 0 , y ≥ 0

⎪        ⎪

⎨x + y ≤ 700        

⎪0,5x + 0,8 y ≤ 500

⎨x + y ≤ 700

⎪5x + 8 y ≤ 5000

⎩        ⎩

La función que da el beneficio, sujeta a las restricciones anteriores, es: z = f(x, y) = (0,58 − 0,5)x + (0,9 − 0,8)y = 0,08x + 0,1y

Se representa la recta 0,08x + 0,1y = 0

 8x + 10 y = 0 

4 x + 5y = 0

El máximo se obtiene en el punto de intersección de las rectas:

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