SISTEMA MASA-RESORTE-FRICCIÓN CON DOS GRADOS DE LIBERTAD

[pic 1][pic 2]

Estudiante: Pablo José Fallas Florian

Carné: B02301

Modelado de sistemas concentrados multivariable

SISTEMA MASA-RESORTE-FRICCIÓN CON DOS GRADOS DE LIBERTAD

Descripción del modelo

        En esta ocasión se modeló un sistema que pretende simular el funcionamiento de un elevador. Este sistema está compuesto de dos partes: una giratoria que consta de un motor que hace girar un tambor que recoge un cable de acero, que liga a la otra parte del sistema: el elevador mismo ligado a un contrapeso por medio de una cuerda pasada por dos poleas. El cable que liga al elevador con el tambor se comporta como un resorte, que se supondrá de k constante o variable.

        El esquema del sistema, más las constantes dadas se muestran en la figura 1:

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Figura 1. Esquema del sistema + constantes.

Las ecuaciones de estado para el sistema descrito se presentan a continuación:  

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        Estas ecuaciones se resolvieron mediante la función ode23 de MATLAB. Las variables obtenidas de esta resolución, en orden de almacenamiento corresponden a: la posición angular del motor, su velocidad angular, la posición del elevador y su velocidad lineal. De igual manera, las condiciones iniciales se habían establecido -en ese mismo orden- todas inicializadas en cero, salvo dos casos que requerían velocidades iniciales distintas de cero para una condición de aceleración nula. Además el torque de entrada del motor varió su valor según los ítems.

Resultados del modelado

1. Tomando en cuenta el torque constante T=640Nm y la k del resorte también constante, el modelado arrojó los siguientes resultados:

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Figura 2. Tiempo de recorrido de 6m, T=640Nm, k cte.

En la figura 2, se observa que el elevador demoró 3,855s para recorrer los 6m.

        Igualmente, para ese intervalo de movimiento el sistema no alcanza a estabilizar su velocidad, más bien sigue una aceleración ligeramente decreciente, por lo que para estas condiciones la velocidad angular máxima del motor se presenta al final del recorrido de 6m, y es de 27,83rad/s, que corresponde a 265,76rpm (ver figura 3).

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Figura 3.  en 6m de recorrido, T=640Nm, k cte.[pic 7]

Esto es, como se dijo, para el intervalo de 6m de trabajo del elevador. Ahora, si se permitiera que el elevador se moviera libremente hasta estabilizarse, su velocidad terminal se daría después de alrededor de 16s y sería aproximadamente de 336.23 rpm, como se muestra en la figura 4.

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Figura 4.  para recorrido libre, T=640Nm, k cte.[pic 9]

1. Para que el elevador se desplace a una velocidad constante de 0,8m/s, se requiere que el sistema entero tenga también velocidad constante, y dado que se pide un valor definido de torque -lo que sugiere que se tomará este valor a lo largo de todo el intervalo de prueba-, las velocidades iniciales tienen que ser la de 0,8m/s del elevador y la angular del motor correspondiente a esta. Así, el torque encontrado fue de 457,577Nm.

        Luego, con este valor de torque se obtuvo el siguiente comportamiento del sistema, al cual se le cortó la cuerda del contrapeso en t=5s (figuras 5 y 6).

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Figura 5. Comportamiento del motor, T=457,577Nm, k cte.

        Se observa claramente la velocidad constante del motor y el elevador en los primeros 5s, verificando así el valor del torque calculado. También se nota cómo afecta dramáticamente la falta del contrapeso después de los 5s.

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Figura 6. Comportamiento del elevador, T=457,577Nm, k cte. 

1. Con las mismas condiciones del ítem b, se calculó el esfuerzo en el cable de acero que une el tambor con el elevador (ver figura 7). Se observa cómo al inicio el resorte oscila mucho, mientras se estabiliza, por lo que su esfuerzo también lo hace. También se nota nuevamente el corte de la cuerda del contrapeso en t=5s.

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Figura 7. Esfuerzo axial del cable de acero elevador-tambor. 

1. Ahora, para un T=520Nm, pero con una k del resorte que varía con su elongación (resorte progresivo), se observa nuevamente el comportamiento del sistema (figuras 8 y 9).

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Figura 8. Comportamiento del motor con T=520Nm, k variable con la elongación.

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Figura 9. Comportamiento del elevador con T=520Nm, k variable con la elongación.

1. Finalmente, se  calcularon las frecuencias naturales y los coeficientes de rozamiento para cada sección del sistema.

Para la parte rotativa del sistema se encontró que  8693,85Hz y ς=380,47[pic 15]

Para la parte de elevador-contrapeso se encontró  2198,45Hz y ς=1,003e-4[pic 16]

Anexos

Códigos de MATLAB

Archivo lab4a.m

function dzdt=lab4a(t,z)

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%Parte genérica de todos los items

    %Constantes dadas, ENTRADAS del programa

    me = 350;  %masa del elevador en kg

    mc = 850;  %máxima carga que puede llevar el elevador en kg

    m2 = 750; %masa del contrapeso en kg

    bL = 860; %fricción en rieles del ascensor en N/(m/s)

    J1 = 1.12;     %inercia rotacional del motor + engrane 1 en kg*m^2

    J2 = 4.34;     %inercia rotacional del tambor + engrane 2 en kg*m^2

    bo1 = 5.58e-2; %fricción en cojinetes del motor en N*m/(rad/s)

    bo2 = 17.4e-2; %fricción en cojinetes del tambor en N*m(rad/s)

    dc = 12e-3;   %diámetro de los cables de elevador en m

    E = 200e9;     %módulo de elasticidad del acero en Pa

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