Un alambre sólido con una conductividad

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Alumnos:

David Ochoa

Carlos Aguilar

Angelica Mindiola

Materia:

Teoría Electromagnética I

Docente:

Dr. José Manuel Aller Castro

DEBER N.-2

1. Conocida la densidad de corriente J = 100 z2 sin3 φ aρ A/m2, encuentre la corriente que atraviesa la superficie de un cilindro ρ = 5, −5 < z < 5.

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1. Un alambre sólido con una conductividad σ1 y un radio a tiene una cubierta de un material que tiene una conductividad σ2, su radio interior es a y su radio exterior es b. Demostrar que la relación de las densidades de corriente de los dos materiales es independiente de a y b.

Si el voltaje es constante en los dos extremos del alambre, el campo interior también tiene que ser constante a través de la sección transversal del alambre, entonces tenemos la siguiente expresión:

𝐸1 = 𝐽1/ 𝜎1

𝐸2 = 𝐽2/ 𝜎2

𝐸1 = 𝐸2

𝐽1/𝜎1 = 𝐽2/ 𝜎2

𝑱𝟏/ 𝑱𝟐 = 𝝈𝟏/ 𝝈𝟐 

Así se demuestra que las densidades de corriente son independientes de las dimensiones 𝑎 y 𝑏.

1. Sea 𝑉 = 10(𝜌 + 1) 𝑧2 𝐶𝑜𝑠 (∅) 𝑉 en el espacio libre. a) Una superficie equipotencial V=20V define una superficie conductora. Encontrar la ecuación de la superficie conductora. b) Encontrar 𝜌 y 𝑬 en el punto de la superficie del conductor donde ∅ =0.2𝜋 y 𝑧 = 1.5. c) Encontrar |𝜌𝑠| en ese punto.

a)  

𝑉 = 10(𝜌 + 1) 𝑧2 𝐶𝑜𝑠 (∅) 𝑉 

𝑉 = 20 𝑉 

Igualando estos dos valores obtenemos la ecuación:

10(𝜌 + 1) 𝑧2 𝐶𝑜𝑠 (∅) = 20

(𝝆 + 𝟏) 𝒛2 𝑪𝒐𝒔 (∅) = 𝟐 

b)  

∅ = 0.2𝜋 

𝑧 = 1.5

Se sustituyen en la ecuación los valores de ∅ y 𝑧 para encontrar el valor de 𝜌:

(𝜌 + 1) 𝑧2 𝐶𝑜𝑠 (∅) = 2

𝜌 = (2/ (𝐶𝑜𝑠 (∅) 𝑧2) − 1

𝜌 = (2/ (𝐶𝑜𝑠 (0.2𝜋) 1.52) − 1

𝝆 = 𝟎.𝟎𝟗𝟖𝟕 

𝐸 = −∇𝑉 

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𝑉 = 10(𝜌 + 1) 𝑧2 𝐶𝑜𝑠 (∅) 𝑉 

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Sustituyendo (𝜌, ∅, 𝑧):

𝑬 = −𝟏𝟖.𝟐𝟎 a𝝆 + 𝟏𝟒𝟕.𝟐𝟏 𝒂∅ − 𝟐𝟔.𝟔𝟔 𝒂𝒛 ̂ 𝑽/𝒎 

c)  

𝜌𝑠 = 𝜖0 ∗ 𝐸 ∗ 𝑛 

𝜌𝑠 = 𝜖0 ∗ (𝐸 ∗ 𝐸) / |𝐸|

𝜌𝑠 = 𝜖0[pic 8]

𝜀0 = 8.85 × 10-12

𝜌𝑠 = 8.85 × 10-12  [pic 9]

𝜌𝑠 = 8.85× 10-12 [pic 10]

𝝆𝒔 = 𝟏.𝟑𝟑 × 𝟏𝟎-9 𝑪/𝒎𝟐 

1. El hidrógeno atómico tiene 5.5 × 1025 𝑎𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠/𝑚3 a cierta presión y temperatura. Cuando se aplica un campo eléctrico de 4 kV =m, cada dipolo formado por un electrón y el núcleo positivo tiene una longitud efectiva de 7.1 10-19 m. a) Encontrar P. b) Encontrar 𝜖𝑟.

a)    

𝑃 = 𝑁 ∗ 𝑞 ∗ 𝑑 

𝑁 = 5.5 × 1025 

𝑞 = 1.60 × 10-19

𝑑 = 7.1 × 10-19

𝑃 = (5.5 × 1025) (1.60× 10-19) (7.1 × 10-19)  

𝑷 = 𝟔.𝟐𝟒 × 𝟏𝟎-12 𝑪/𝒎2 

b)    

𝑃 = 𝜖0 ∗ 𝜒𝑒 ∗ 𝐸 

𝜒𝑒 =𝑃/ 𝜖0𝐸 

𝜒𝑒 = 6.24 × 10-12 / (8.85 × 10-12 ∗ 4 × 103)

𝜒𝑒 = 0.000176  

𝜖𝑟 = 𝜒𝑒 + 1  

𝜖𝑟 = 0.000176 + 1

𝝐𝒓 = 𝟏.𝟎𝟎𝟎𝟏𝟖

1. Dos dieléctricos perfectos tienen permitividades relativas 1 = 2 y 2 = 8. La interfase planar entre ellos es la superficie x y + 2z = 5. El origen se encuentra en la región 1: Si E1 = 100ax + 200ay 50az V =m, encontrar E2.

𝐸1𝑁 = 𝐸1 ∗ 𝑛 

𝐹 = 𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 

𝑛 =∇𝐹 / |∇𝐹|

𝑛 = (1 / ) ∗ (𝑎𝑥 − 𝑎𝑦 + 2𝑎𝑧) [pic 11]

𝑛 = (1/ ) ∗ (𝑎𝑥 − 𝑎𝑦 + 2𝑎𝑧) [pic 12]

𝐸1N = (1/ ) ∗ (100− 20 + 2(−50)) [pic 13]

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