Anisotropico

microondas como medios anisostropicos para la telecomunicaciones:

Nomenclatura

Los medios anisótropos se caracterizan por presentar propiedades ópticas diferentes según la dirección considerada. Esto es típico de los materiales cristalinos. En general, el vector campo eléctrico ${\vec E}$ y el vector desplazamiento ${\vec D}$ están relacionados por la relación ${\vec D} =

\epsilon {\vec E}$, donde $\epsilon$ se un tensor de 3x3 elementos. Es posible demostrar que este tensor se simétrico, y por lo tanto, diagonaliza en una cierta base de vectores ortogonales.

\begin{displaymath}

\epsilon =

\left ( \begin{array}{ccc}

\epsilon_x & 0 & 0 ...

...silon_y & 0\\

0 & 0 & \epsilon_z \\

\end{array} \right )

\end{displaymath}. (2.70)

Podemos definir el tensor de índices,

\begin{displaymath}

\left ( \begin{array}{ccc}

n_x & 0 & 0 \\

0 & n_y & 0\\ ...

...} & 0\\

0 & 0 & \sqrt{\epsilon_z} \\

\end{array} \right )

\end{displaymath}, (2.71)

así como las velocidades principales,

\begin{displaymath}

v_x= \frac{c}{\sqrt{\epsilon_x}} \quad v_y= \frac{c}{\sqrt{\epsilon_y}} \quad

v_z= \frac{c}{\sqrt{\epsilon_z}}

\end{displaymath}. (2.72)

Estas variables contienen información de la física del problema y más adelante serán analizadas con mayor detalle.

2.5.2 Ecuaciones de Maxwell. Soluciones

Consideramos un medio dieléctrico anisótropo, no magnético ($\mu = 1 $), sin conductividad ($\sigma = 0$) ni densidad de carga ($\rho=0$). En estas condiciones, las ecuaciones de Maxwell se escriben:

$\displaystyle \vec{\nabla} \wedge \vec{H} = \frac{1}{c} \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}$

(2.73)

$\displaystyle \vec{\nabla} \wedge \vec{E} =- \frac{1}{c} \frac{\partial \vec{H}}{\partial t}$

$\displaystyle \vec{\nabla} \vec{D} = 0$

$\displaystyle \vec{\nabla} \vec{H} = 0

\vspace{5mm}$.

La solución de ondas planas armónicas para estas ecuaciones será

$\displaystyle {\vec E} = {\vec E_0} \exp (ip(ct - n {\vec r}{\vec s}))$

(2.74)

$\displaystyle {\vec H} = {\vec H_0} \exp( ip(ct - n {\vec r}{\vec s}))$

$\displaystyle {\vec D} = {\vec D_0} \exp( ip(c t - n {\vec r}{\vec s}))

\vspace{5mm}$,

donde $n = \frac{c}{v_n}$ es el índice de refracción y $v_n$ es la velocidad de fase. Introduciendo estas soluciones en las ecuaciones de Maxwell, y calculando las derivadas espaciales y temporales correspondientes, obtenemos las siguientes condiciones:

$\displaystyle n({\vec H} \wedge {\vec s}) = {\vec D}$

(2.75)

$\displaystyle n({\vec s} \wedge {\vec E}) = {\vec H}$

$\displaystyle {\vec H} {\vec s} = 0$

$\displaystyle {\vec D} {\vec s} = 0

\vspace{5mm}$.

De cada ecuación se deduce una condición:

${\vec H}$, ${\vec s}$ y ${\vec D}$ forman un triedro.

${\vec s}$, ${\vec E}$ y ${\vec H}$ forman un triedro.

${\vec H}$ y ${\vec s}$ son perpendiculares.

${\vec D}$ y ${\vec s}$ son perpendiculares.

Además, combinando estas cuatro ecuaciones y haciendo desaparecer el campo magnético, podemos escribir

\begin{displaymath}

{\vec D} = n^2 ({\vec E} - {\vec s}({\vec E}{\vec s}))

\vspace{5mm}

\end{displaymath}. (2.76)

Manipulando esta ecuación, podemos escribir las componentes del vector ${\vec D}$,

\begin{displaymath}

D_i = \frac{c^2 {\vec E}{\vec s}}{v_i^2-v_n^2} s_i

\vspace{5mm}

\end{displaymath}, (2.77)

de donde se deduce que el vector ${\vec D}$ es constante y por lo tanto la luz está linealmente polarizada. Multiplicando ${\vec D}$ por ${\vec s}$ se deduce la siguiente relación:

\begin{displaymath}

\frac{s_x^2}{v_x^2 - v_n^2}+\frac{s_y^2}{v_y^2 - v_n^2} + \frac{s_z^2}{v_z^2 -

v_n^2} =0

\vspace{5mm}

\end{displaymath}. (2.78)

Figura 2.15: Campos propagándose en un medio anisótropo

\includegraphics[width=\textwidth]{8_8_2.eps}

Como podemos ver a la izquierda de la figura 2.15, los vectores ${\vec E}$, ${\vec H}$, ${\vec D}$, ${\vec s}$ y ${\vec S}$ se disponen de la manera que se indica. El vector de Poynting es proporcional al producto vectorial ${\vec E} \wedge {\vec H}$. La dirección del rayo, y por lo tanto, la dirección de la propagación de la energía no coincide con la dirección del vector normal al frente de onda ${\vec s}$. La ecuación 2.78 aporta mucha información: ${\vec s}=(s_x,s_y,s_z)$ es el vector normal al frente de onda e indica su dirección de propagación. Por otra parte, $v_x$, $v_y$ y $v_z$ son parámetros que vienen fijados por el medio, puesto que se expresan directamente en términos de las componentes del tensor dieléctrico, y $v_n$ es la velocidad que puede tomar el frente de onda. Fijado el medio y la dirección de propagación ${\vec s}$, la fórmula 2.78 resulta una ecuación cuya incógnita es $v_n$. Se puede comprobar que esta ecuación tiene dos soluciones para $v_n$, que denominaremos $v_{n1}$ y $v_{n2}$. Por lo tanto, para una posible dirección del frente de onda, se pueden propagar dos ondas que viajan con velocidades diferentes. Se puede comprobar que las polarizaciones de estas ondas (${\vec

D_1}$ y ${\vec D_2}$), verifican ${\vec D_1}{\vec D_2} =0$. Por otra parte, aunque la dirección de propagación de la fase sea común, la dirección del rayo de cada onda es diferente. Estos resultados se muestran gráficamente en la figura 2.15.

Definición: las direcciones ${\vec s}$ que verifican que $v_{n1}=

v_{n2}$ se denominan ejes opticos. Podemos distinguir tres casos:

$\epsilon_x = \epsilon_y = \epsilon_z $ Sistema equivalente a un medio homogéneo

$\epsilon_x = \epsilon_y \neq \epsilon_z $ Sistema uniaxial (un eje óptico)

$\epsilon_x \neq \epsilon_y \neq \epsilon_z $ Sistema biaxial (dos ejes ópticos)

En el primer caso considerado, los valores de la diagonal del tensor dieléctrico son iguales y, por lo tanto, es como si $\epsilon$ fuera un escalar; se puede asimilar este caso a la propagación en un medio homogéneo. Esto es lo que pasa con los materiales que cristalizan en el sistema cúbico. El segundo caso se da en determinados materiales que cristalizan según los sistemas hexagonal, tetragonal o trigonal. Desde el punto de vista óptico presentan la característica de tener un eje óptico. Los cristales que no tienen ninguna dirección de simetría y

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