Centro De GRAVEDAD

MÉTODO DEL CENTRO DE GRAVEDAD

Es un modelo matemático que se utiliza para la localización de plantas de fabricación o almacenes de distribución respecto a unos puntos ya establecidos de la empresa, desde donde se producen salidas o hacia donde se llevan productos o materias primas. Este método de localización toma en cuenta tres factores de transporte:

Ci: Coste de transporte por unidad

Vi: Volumen transportado de la unidad i

di: Distancia recorrida en el transporte de la unidad i

El objetivo primordial de este método es el de encontrar la mejor ubicación de una instalación dada de una empresa con respecto a los demás elementos que la conforman, para garantizar el mínimo Coste Total de Transporte.

El Coste Total de Transporte o CTT se define como la sumatoria del producto entre el coste de transporte ci, el volumen transportado vi y la distancia recorrida di. Esto es:

CTT=∑▒〖c_i v_i d_i 〗

Donde el subíndice i en cada término indica un elemento o instalación de la empresa. Es decir, ci indica el coste unitario de transporte desde/hacia la unidad i. vi indica el volumen de los materiales transportados desde o hacia i y di es la distancia entre la unidad i y la instalación que se desea ubicar. Por otro lado, al producto:

c_i v_i=w_i

Se le define como peso, ó wi, del i-ésimo elemento; también se le conoce como la importancia de cada punto i en el plano de ubicación.

MODO DE MEDIR DISTANCIAS ENTRE DOS O MÁS PUNTOS

Existen dos modos para la medición de distancias entre diferentes elementos ya establecidos que se van a considerar con respecto a la ubicación de la nueva instalación. Es decir, son dos formas diferentes de considerar la medida de las trayectorias que conectarán los puntos que se van a tomar en cuenta. El primero, el que mira la distancia rectangular, toma en cuenta sólo movimientos de 90°; mientras que el segundo, el que toma en cuenta la distancia euclídea, permite movimientos en diagonal. (Ver Fig. 1).

La aplicación de uno de estos dos modos de medir distancias, en un problema de ubicación, depende de la organización y las características del lugar en donde se desee situar la nueva instalación.

d=K(|x-x_i |-|y-y_i |)

Donde las x representan a la pareja abscisa y las y a la pareja ordenada de los dos puntos.

Distancia rectangular

Esta toma las distancias entre dos puntos considerando solamente dos tipos de movimiento: el vertical y el horizontal. Para la representación de la distancia entre dos puntos A y B situados en un plano a escala K, se tiene que:

Distancia euclídea

Esta, es la distancia de una línea recta que une a los dos puntos A y B, permitiendo trayectorias oblicuas. Esta distancia viene dada por la siguiente expresión:

d=K√((x-x_i )^2+(y-y_i )^2 )

Esta expresión se desprende del teorema de Pitágoras.

Centro de gravedad

El Centro de Gravedad se define como el punto con coordenadas (x*, y*) que minimiza el Coste Total de Transporte. Las coordenadas de este punto, vienen dadas por las siguientes expresiones:

x^*=(∑▒〖c_i v_i x_i 〗)/(∑▒〖c_i v_i 〗) ; y^*=(∑▒〖c_i v_i y_i 〗)/(∑▒〖c_i v_i 〗)

El punto que arroja las expresiones de no es necesariamente el punto eficiente en el que se deba ubicar la nueva instalación. Para encontrar el punto eficiente utilizando la expresión anterior, se deben realizar muchas iteraciones que arrojan posibles soluciones a nuestro problema, pero que no se consideran soluciones finales. De este modo, la última solución, luego de variar las coordenadas x* y y* iniciales, es aquella que arroje menor valor en el CTT.

DETERMINACIÓN DEL PUNTO ÓPTIMO DE LOCALIZACIÓN

Distancias rectangulares: modelo de la mediana simple

Para hallar el punto óptimo de localización de una instalación, usando las coordenadas rectangulares, se realiza el siguiente procedimiento:

1. Hallar el valor medio de las cantidades desplazadas ponderadas por sus costes:

(∑▒〖c_i v_i 〗)/2

2. Se ordenan los puntos según su ordenada y según su abscisa en forma creciente. Se hace un acumulado del producto ci vi de todos los datos.

3. La ordenada y la abscisa que en el acumulado de los datos fueron los primeros en sobrepasar el valor medio calculado determinan el punto óptimo de localización.

Distancias euclídeas: centro de gravedad con distancias euclídeas

Para el caso de utilizar las distancias euclídeas, se requiere de un proceso que, dependiendo de la exactitud deseada, puede resultar arduo. De este modo, se hace lo siguiente:

1. Se ubica el centro de gravedad, ( x*, y*), a partir de las ecuaciones:

x^*=(∑▒〖c_i v_i x_i 〗)/(∑▒〖c_i v_i 〗) ; y^*=(∑▒〖c_i v_i y_i 〗)/(∑▒〖c_i v_i 〗)

2. Según las coordenadas anteriores del punto correspondiente al Centro de Gravedad, se halla la distancia euclídea di, del Centro de Gravedad a cada punto i del plano, a través de la ecuación:

d=K√((x^*-x_i )^2+(y^*-y_i )^2 )

3. Se halla el Coste Total de Transporte por elemento, CTTi. Este se calcula multiplicando el peso del elemento i, wi por la distancia entre el elemento i y el centro de Gravedad di , obtenida del paso 2. Esto es:

CTT=w_i d_i=c_i v_i d_i

Finalmente, se halla el Coste Total de Transporte CTT realizando la suma de los CTT:

CTT=∑▒CTT

4. El punto resultante en el paso 1 y la distancia di del paso 2, se reemplazan en la siguiente ecuación, obtenida a partir de la derivada parcial igualada a cero del CTT respecto a la abscisa y la ordenada:

X^*=(∑▒〖(c_i v_i x_i)/d_i 〗)/(∑▒〖〖(c〗_i v_i)/d_i 〗) ; Y^*=(∑▒〖〖(c〗_i v_i y_i)/d_i 〗)/(∑▒〖〖(c〗_i v_i)/d_i 〗)

Esto nos arroja las coordenadas (X*, Y*) del punto óptimo de localización correspondiente a dicho CTT.

Si se desea una exactitud muy grande, el punto óptimo se encuentra realizando repetidas veces este procedimiento. Se varía el Centro de Gravedad del paso 1 hacia el Norte, Sur, Oriente y Oeste, y se comparan todos los resultados con respecto al CTT obtenido para cada punto. El punto óptimo es aquel que arroje el menor valor del CTT. Para este caso, generalmente se utiliza un software como ayuda, que realiza las suficientes iteraciones hasta que

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