Diseñar un PID

INTRODUCCION

En este informe se presenta el desarrollo de las actividades referente a sistemas de segundo orden, sus parámetros de respuesta transitoria como también el diseño de un controlador PID con unos requerimientos específicos.

También la utilización de software especializado para corroborar los resultados obtenidos.

OBJETIVOS

• Adquirir destrezas a la hora de diseñar controladores PID y su correcta simulación.
• Reconocer las diferencias que existen entre sistemas de segundo orden sub-amortiguado y sobre-amortiguados.

Actividades a desarrollar

Para el siguiente sistema:

[pic 1]

a) Analizar su respuesta en el tiempo ante entrada escalón (calcular los parámetros de la respuesta transitoria y error en estado estacionario ante entrada escalón unitario). Comprobar los resultados mediante simulación

Dado que sus polos son negativos y reales, es un caso sobre amortiguado, por lo que las especificaciones para la respuesta transitoria de un sistema de control no aplican los términos tiempo pico y sobre elongación máxima.

El tiempo de asentamiento es el tiempo que se requiere para que la curva de respuesta alcance un rango alrededor del valor final del tamaño especificado por el porcentaje absoluto del valor final (por lo general, de 2 o 5%). La fórmula general que se encuentra para ts es Ts≈4/ζωn pero esta es para sistemas sub-amortiguados, para calcular la de un sistema sobre-amortiguado, tenemos que irnos a la formula general.

Para sistemas con ζ > 1 se tiene que la respuesta al escalón es

[pic 2]

Donde s1 y s2 son los polos (-1 y -3)

Por lo que para un criterio del 2% de la respuesta final, entonces:

[pic 3]

Reemplazando estos valores queda   y para hallar solución, tocaría con un método numérico, por ello se utiliza Matlab y el comando solve:[pic 4]

syms x

eqn = (1.5*exp(-x))-(0.5*exp(-3*x)) == 0.02;

solx = solve(eqn)

y con ello obtenemos que el Ts es 4.3174

El tiempo de subida(Tr) es el tiempo requerido para que la respuesta pase del 10 al 90%, del 5 al 95% o del 0 al 100% de su valor final. Para sistemas sub-amortiguados de segundo orden, por lo general se usa el tiempo de subida de 0 a 100%. Para sistemas sobre-amortiguados, suele usarse el tiempo de levantamiento de 10 a 90%, por lo que se va a realizar el mismo procedimiento del paso anterior, se halla el tiempo para 90% y 10% y luego realizamos una resta para calcular dicho intervalo de tiempo.

T(10%) = 0.3157

T(90%) = 2.7

Por lo que el Tr será de 2.3843

[pic 5]

Para nuestro caso sería:

Kp=1/3;

Ep=3/4;

para confirmar con simulación en Matlab se usaron los siguientes comandos:

num=[0 0 1];

den=[1 4 3];

G=tf(num,den);

step(G)

[pic 6]

Figura1. Grafica de la respuesta al escalón de la planta del ejercicio a. con sus valores de tiempo de establecimiento y tiempo de subida

b) Diseñar un PID para que el sobreimpulso en lazo cerrado ante entrada escalón sea máximo del 10%, con un tiempo de establecimiento de 3 segundos máximo. Comprobar el diseño usando Matlab u Octave

Para este caso se va a realizar los cálculos para un controlador PD, ya que con este se puede obtener un overshoot de 5% y un tiempo de establecimiento de 1 segundo. Con estos 2 unicos valores podemos encontrar los polos deseados de nuestro sistema final

ζ=  dando ζ= 0.6901[pic 7]

ωn = 4/ ζ*Ts   dando wn = 5.7962

Con estos valores ya podemos escribir nuestra ecuación características y encontrar los polos deseados:

  y los polos s1, s2=-3.99±4.19j[pic 8]

Ahora calculamos la deficiencia angular, que es el cero que se agregar para modificar el lugar geométrico de las raíces para que cumpla los requerimientos y sea estable:

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