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definimos la matriz diagonal H como una matriz de dimensión k, cuyos elementos no nulos son los primeros

momentos de cada distribución.

El siguiente teorema proporciona una fórmula para el cálculo del ancho de banda efectivo de un proceso

con estas características.

Teorema 2 Sea fXtgt¸0 un flujo markoviano modulado por la cadena de Markov irreducible homogénea

Zt con distribución invariante ¼ y generador infinitesimal las variables QZ . Sean las aleatorias Yt y la

matriz diagonal H, de dimensión k, definidas como antes, entonces:

®(s; t) =

1

st

log

©

¼ exp

£¡

QZ + sH

¢

t

¤

1

ª

;

donde 1 es un vector columna con todas las entradas iguales a 1.

Prueba. Por la definición de ancho de banda efectivo de una fuente estacionaria presentada en (1) basta

probar que

E

¡

esXt

¢

= ¼ exp

£¡

QZ + sH

¢

t

¤

1:

Dado que Xt =

R t

0 Ys ds y escribiendo la integral como límite de sumas de Riemann, tenemos que

E

¡

esXt

¢

= E

0

BBB@

e

s l¶³m

n!1

Xn

r=1

Yrt

n

t

n

1

CCCA

= E

0

BBB@

l¶³m

n!1

e

s

Xn

r=1

Yrt

n

t

n

1

CCCA

:

Puesto que jYsj · m¶ax

1 · i · k

1 · j · Li

fhj

i g · 1, tenemos que jXtj ·

Z t

0

jYsjds · t m¶ax

1 · i · k

1 · j · Li

fhj

i g · 1; y por

lo tanto esXt < 1.

Aplicando el teorema de convergencia dominada resulta

E

¡

esXt

¢

= l¶³m

n!1

E

0

BBB@

e

s t

n

Xn

r=1

Yrt

n

1

CCCA

:

Como la variable e

s t

nYrt

n es discreta

E

0

BBB@

e

s t

n

Xn

r=1

Yrt

n

1

CCCA

=

X

(u1;¢¢¢ ;un)2Hn

e

s t

n

Xn

r=1

ur

P(Y t

n

= u1; ¢ ¢ ¢ ; Ytn

n

= un):

Como

P(Y t

n

= u1; ¢ ¢ ¢ ; Ytn

n

= un) =

X

(i0;¢¢¢ ;in)2Kn

P(Y t

n

= u1; ¢ ¢ ¢ ; Ytn

n

= un=Z t

n

= i1; ¢ ¢ ¢ ;Ztn

n

= in):

...