Instrumentación

Objetivo

• Simular el comportamiento estático de una barra de torsión, mediante el uso de un paquete CAD/CAM/CAE.

Teoría.

Deformación de un miembro circular sometido a torsión.

Considerar la rotación relativa de dos secciones circulares maciza adyacentes de radioc de un elemento de longitud L, tal como lo muestra la Fig. 1.

De la geometría de la Fig. 1 se obtiene la siguiente relación

(1)

La expresión anterior, debido a la hipótesis de la geometría de deformación, es válida para cualquier valor de r tal que r <= c. Además, de la geometría de deformación presentada en la Fig. 1, se tiene que un plano paralelo al eje longitudinal x rota en forma relativa en un ángulo γ debido al ángulo ∆ф. Por lo tanto, si el plano tenía forma de rectángulo, luego de la rotación relativa ∆ф de la sección transversal tiene forma de rombo.

Si la expresión de la Ec. (1) se discretiza, para pequeños valores de la deformación γ se cumple

(2)

Donde ∆ф y γ están expresados en radianes.

De la Ec. (2) se puede concluir lo siguiente:

• La deformación de corte γ es proporcional al ángulo ∆ф.

• La deformación de corte γ es proporcional a la distancia r medida desde el eje del elemento circular hasta el punto en consideración.

• La deformación de corte γ varía linealmente con la distancia medida desde el eje del elemento circular.

• La deformación de corte γ máxima se da en la superficie del elemento (r = c).

(3a)

(3b)

Tensiones debido a la Torsión en el Rango Elástico.

Considerar la ley de Hooke para la tensión de corte τ.

(4)

Donde G es el módulo de rigidez o módulo de corte del material. Utilizando las Ecs(3) y (4), se obtiene

(5)

lo que indica que la tensión de corte τ varía linealmente con la distancia r medida desde el eje longitudinal del elemento circular. Para el caso de una sección anular, se cumple la siguiente relación (Fig. 2)

(6)

Momento de Torsión Interno: Mt

Considerar las tensiones que actúan en la sección transversal mostrada en la Fig.3.Por equilibrio, se deben cumplir las siguientes relaciones

(7a)

(7b)

(7c)

(7d)

(7e)

(7f)

Donde J es el momento polar de inercia con respecto a O (Fig. 2a). Utilizando Ecs. (5) y

(7f), se obtiene

Las Ecs. (7) y (8) se conocen como las fórmulas de la torsión elástica. Suponer que la sección circular transversal está compuesta por dos materiales diferentes. Se asume queen la interacción de ambos materiales existe una compatibilidad de deformación por corte γ.

Para el estudio de la torsión en miembro de sección transversal circular, tres conceptos básios de la mecánica de sólidos fueron aplicados, que pueden resumirse de la siguiente manera:

• Las ecuaciones de equilibrio se usan para determinar los pares de torsión resistentes internos en una sección.

• La geometría de deformación se postula de manera que las deformaciones varían linealmente desde el eje del miembro.

• Las leyes constitutivas del material se usan para relacionar las deformaciones unitarias cortantes con las tensiones de corte.

Considerar un elemento circular sometido a un momento de torsión Mt = M, tal como muestra la Fig5. Si se aísla un elemento infinitesimal del sólido sometido a torsión (Fig. 5a), existe una tensión tangencial τ x (actúa en el plano definido por x) que genera el momento de torsión resultante en la sección.

Como se ha visto anteriormente, existe una tensión tangencial numéricamente igual a τ x que actúa en un plano perpendicular (plano definido por y).

Porequilibrio de fuerzas, existen tensiones tangenciales que actúan en los planos definidos por –x y –y del elemento infinitesimal (Fig.5a).

El estado de tensiones estudiado es de corte puro.

Sinembargo, las tensiones principales actúan en planos orientados a 45º con respecto al eje del elemento circular (Fig. 5b).

Estas tensiones son iguales en valor absoluto pero de signo contrario entre sí, e iguales en valor absoluto a las tensiones tangenciales (estado de corte puro).

Observaciones:

• Cuando el análisis se limita al estudio de elementos diferenciales orientados de tal forma que sus superficies son paralelas o perpendiculares al eje longitudinal del elemento, en estas superficies se desarrolla un estado de tensiones de corte puro.

• Si el elemento diferencial se rota en 45º, se encuentra un estado de tensiones que corresponden a tensiones de tracción y compresión en las superficies del elemento diferencial rotado.

• Los materiales dúctiles generalmente fallan a corte. Fallan en un plano perpendicular al eje longitudinal del elemento por efecto de la torsión.

• Los materiales frágiles presentan una menor capacidad a tracción que la corte. Por lo tanto, fallan en planos perpendiculares a la dirección de máxima tensión de tracción.

Los materiales dúctiles generalmente fallan a corte. Fallan en un plano perpendicular al eje longitudinal del elemento por efecto de la torsión.

Los materiales frágiles presentan una menor capacidad a tracción que la corte. Por lo tanto, fallan en planos perpendiculares a la dirección de máxima tensión de tracción.

• Control de deformaciones

• Análisis de vibraciones torsionales

• Estudio de problemas indeterminados de torsión.

Considerar el elemento diferencial de la Fig. 6 que pertenece a un elemento circular macizo sometido a una torsión Mt

Asumiendo que el material tiene un comportamiento elástico lineal y que las deformaciones son pequeñas, se obtiene las siguientes relaciones geométricas

Utilizando las Ecs. (4) y (8), se obtiene la relación siguiente

Utilizando las Ecs. (4) y (8), se obtiene la relación siguiente

(9)

La expresión anterior

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