Metodo De Rechazo

MÉTODO DE RECHAZO

Existe otro procedimiento para generar números al azar da distribución de probabilidades no-uniformes. A este procedimiento se le conoce con el nombre de rechazo. Este método consiste primeramente en generar un valor de la variable aleatoria y en seguida probar que dicho valor simulado proviene de la distribución de probabilidad que se está analizando. La aplicación del método de rechazo implica el desarrollo de los siguientes pasos:

1. Generar dos números uniformes R1 y R2

2. Determinar el valor de la variable aleatoria x de acuerdo a la siguiente relación lineal de R1:

X= a + (b-a) R1

3. Evaluar la función de probabilidad en x= a + (b-a) R1

4. Determinar si la siguiente desigualdad se cumple:

R2 ≤ F(a + (b-a) R1)/M

Se utiliza a x= a + (b-a) R1 si la respuesta es afirmativa como un valor simulado de la variable aleatoria. De lo contrario, es necesario pasar nuevamente al paso 1 tantas veces como sea necesario.

La teoría sobre la que se apoya este método se basa en el hecho de que la probabilidad de que R2 ≤ F(x)/M. Por consiguiente, si un número es escogido al azar de acuerdo a x= a + (b-a) R1 y rechazo si R2 > F(x)/M, entonces la distribución de probabilidad de las x aceptadas será exactamente F(x). Por otra parte, conviene señalar que si todas las x fueran aceptadas, entonces x estaría uniformemente distribuida entre a y b.

Finalmente, es necesario mencionar que algunos autores como Tocher, han demostrado que el número esperado de intentos para que x sea aceptada como una variable aleatoria que sigue una distribución de probabilidad f(x), es M. esto significa que este método podría ser un tanto ineficiente para ciertas distribuciones de probabilidad en las cuales la moda sea grande.

Teorema

1. La v. a. generada por el método de rechazo tiene densidad f.

2. El número de iteraciones del algoritmo es una variable aleatoria geométrica con media c.

Cálculo de la cota

h(x)=(f(x))/(g(x))

Debe analizarse si h(x) está acotada superiormente:

Determinar máximos locales de h.

Evaluar h en los extremos (finitos) del intervalo.

Analizar si h posee máximos absolutos.

Determinar el máximo de h en base a la información anterior.

Ejemplo:

Generar un v.a en función de la densidad.

f(x)=20x(1-x)3, 0<x<1

X es una v.a. Beta (2,4).

Esta acotada en (0,1).

Se puede aplicar el método de rechazo con g(x) =1,0 < x <1.

Hallar c tal que

(f(x))/(g(x))=(f(x))/1≤c

h(x)=(f(x))/1=20x〖(1-x)〗^3 0<x<1

h(x)=20〖(1-x)〗^2*(1-4x)

Puntos críticos: x=1/4.

h(0)=h(1)=0, luego

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