Número pseudo-aleatorio

INTRODUCCION.

Bajo el nombre de Método Monte Carlo o Simulación Monte Carlo se agrupan una serie de procedimientos que analizan distribuciones de variables aleatorias usando simulación de números aleatorios.

El Método de Monte Carlo da solución a una gran variedad de problemas matemáticos haciendo experimentos con muestreos estadísticos en una computadora. El método es aplicable a cualquier tipo de problema, ya sea estocástico o determinístico.

Generalmente en estadística los modelos aleatorios se usan para simular fenómenos que poseen algún componente aleatorio. Pero en el método Monte Carlo, por otro lado, el objeto de la investigación es el objeto en sí mismo, un suceso aleatorio o pseudo‐aleatorio se usa para estudiar el modelo.

A veces la aplicación del método Monte Carlo se usa para analizar problemas que no tienen un componente aleatorio explícito; en estos casos un parámetro determinista del problema se expresa como una distribución aleatoria y se simula dicha distribución.

La simulación de Monte Carlo es una técnica que combina conceptos estadísticos (muestreo aleatorio) con la capacidad que tienen los ordenadores para generar números pseudo‐aleatorios y automatizar cálculos.

NUMEROS PSEUDEOALEATORIOS.

Un número pseudo-aleatorio es un número generado en un proceso que parece producir números al azar, pero no lo hace realmente. Las secuencias de números pseudo-aleatorios no muestran ningún patrón o regularidad aparente desde un punto de vista estadístico, a pesar de haber sido generadas por un algoritmo completamente determinista, en el que las mismas condiciones iniciales producen siempre el mismo resultado.

Casi Aleatorio

Una variable pseudoaleatoria es una variable que ha sido creada a través de un procedimiento determinístico (por norma general un programa de ordenador o subrutina) el cual tiene como entrada dígitos realmente aleatorios. La cadena pseudoaleatoria resultante suele ser más larga que la cadena aleatoria original, pero menos aleatorio, es decir, con menos entropía.

Los mecanismos de generación de números aleatorios que se utilizan en la mayoría de los sistemas informáticos son en realidad procesos pseudo-aleatorios.

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_pseudoaleatorio

2.1 METODOS DE GENERACION DE NUMEROS PSEUDEOALEATORIO.

Uno de los métodos más utilizados para generar números pseudoaleatorios empieza con un valor inicial no , llamado semilla y a continuación por recursión los valores sucesivos ni, i 1, haciendo :

Los métodos más empleados para la generación de los números pseudoaleatorios son los siguientes:

1. CONTRASTES EMPIRICOS

La aproximación a los generadores de números aleatorios exige contrastar ciertas propiedades estadísticas de sus salidas. Algunos de los contrastes son genéricos y pueden utilizarse en la evaluación de generadores de variables aleatorias. Mencionemos que muchos de estos contrastes se encuentran implementados en los paquetes estadísticos comerciales más importantes. Además. algunos generadores disponen de una teoría analítica que conduce a contrastes teóricos específicos.

Contraste

El contraste es de bondad de ajuste. Es poco potente, por lo que permite justificar el rechazo de una hipótesis, pero proporciona escaso soporte a su aceptación. El estadístico del contraste es:

cuya distribución asintótica es una donde r son los parámetros estimados y la aproximación se acepta si min ei > 5

Contraste de Kolmogorov – Smirnov

Consideramos el caso en que Fo es continua. La función de distribución empírica de una muestra X1, X2, ..., Xn se define como

Bajo la hipótesis nula Ho : Fx(X) = Fo(X) esperamos que Fn se aproxime a Fo. Definimos el estadístico bilateral de Kolmogorov-Smirnov

La distribución exacta de Dn está tabulada para valores seleccionados de n 40 y del nivel de significación . Para muestras grandes, se utiliza la distribución asintótica de Dn.

Contraste de rachas

Dada la sucesión de observaciones X1, X2, ... , Xn , construimos la sucesión de símbolos binarios definida mediante 1 si Xi < Xi+1, 0 si Xi> Xi+1. Definimos racha creciente (decreciente) de longitud 1 a un grupo seguido de 1 números 1 o 0. Intuitivamente, rechazamos la aleatoriedad con un número muy pequeño o muy grande de rachas. De ahí se obtiene inmediatamente el contraste.

Contraste de rachas por encima y por debajo de la mediana

Otro procedimiento para definir rachas es el recuento de observaciones que se sitúan a un mismo lado de la mediana. La distribución asintótica del número de rachas, bajo la hipótesis de aleatoriedad, es

De donde se sigue, inmediatamente, un contraste.

Contraste de permutaciones

Separamos las observaciones en k-uplas

La k-upla general se escribe

Las ordenamos crecientemente y consideramos la ordenación correspondiente de los subíndices j. Bajo la hipótesis de la probabilidad de que dos números sean iguales es nula, hay k! ordenaciones posibles. Bajo la hopótesis de independencia, todas las permutaciones son equiprobables, con probabilidad Entonces es inmediato aplicar un contraste con k! clases, distribución asintótica frecuencias esperadas r / k!, donde r es el número de k-uplas y frecuencias observadas el número de veces que aparece cada ordenación.

Contraste de huecos

Fijamos dos valores y con 0 < < < 1. La sucesión presenta un hueco de longitud m si Bajo la hipótesis de aleatoriedad de la serie, la longitud m de los huecos sigue una distribución geométrica de parámetro , es decir,

La hipótesis de aleatoriedad implica independencia de las longitudes de los huecos y podemos aplicar un contraste basado en las comparaciones de los números observados y esperados de huecos de longitud m.

Repetición de contrastes

Para aumentar su potencia, los contrastes anteriores pueden repetirse N veces. La distribución empírica de los valores del estadístico pueden compararse con su distribución teórica mediante, por ejemplo, el contraste de Kolmogorov-Smirnov.

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4060015/Lecciones/Capitulo%20VI/metodos.htm

2.2 PRUEBAS ESTADISTICAS.

Puesto

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