Proporcionalidad en la vida cotidiana

PROPORCIONALIDAD

Introducción

En la vida corriente utilizamos el término PROPORCIÓN con distintos sentidos:

Cuando decimos que alguien está bien proporcionado damos a este término un sentido de armonía y estética: "este niño ha crecido mucho, pero está bien proporcionado"

• Si comentamos que el éxito de una persona es proporcional (o está en proporción) a su trabajo ponemos de manifiesto la correlación entre estas dos variables: ÉXITO y TRABAJO.

• También solemos utilizarlo para comparar fenómenos en distintos ámbitos: " proporcionalmente una hormiga es más fuerte que un elefante " (el hombre no resiste las comparaciones con otros animales: un escarabajo puede levantar 850 veces el peso de su propio cuerpo. Proporcionalmente equivaldría a que un hombre levantara sobre su cabeza un tanque de 50 Tm. Una pulga puede saltar hasta 130 veces su altura. Para competir con ella un hombre debería saltar limpiamente la Giralda de Sevilla).

También se cometen errores:

• Hace años se estudió la reacción de un elefante macho al LSD (una droga). Los científicos calcularon la dosis que se debía administrar a partir de la cantidad que pone a un gato en estado furioso. Esta proporción fue trágica para el elefante pues inmediatamente empezó a correr y a trompetear, tuvo convulsiones y expiró.

En matemáticas esta palabra tiene un significado más restringido que trataremos de precisar:

Consideremos los siguientes ejemplos:

Ejemplo 1

En la siguiente tabla se relaciona la superficie de una valla a pintar y la pintura empleada.

m2 de valla a pintar 1 1'5 2 4

Litros de pintura empleados 0'33 0'495 0'66 1'32

Ejemplo 2

Desde que un conductor ve un obstáculo, reacciona, pisa el freno y el coche realmente se detiene, se recorre una distancia que depende de la velocidad:

Velocidad que lleva (Km/h) 20 40 60 80 100

Distancia total de detención (m) 7 20'5 39'5 64 95

Ejemplo 3

Observa el dibujo y construye una tabla que relacione la altura de cada rectángulo con su base.

Ejemplo 4

El precio de un aparcamiento es:

Tiempo Precio

hasta 1 hora 1 €

hasta 2 horas 2 €

.................. .............

En todos estos ejemplos existe una relación entre dos magnitudes. Además, cuando una varía provoca que varíe la otra. Podemos precisar aún más:

En el ejemplo 1:

- Al doble de m2 de valla corresponde doble cantidad de litros de pintura.

- Al triple de m2 de valla corresponde triple cantidad de litros de pintura.

- A la mitad de m2 de valla corresponde la mitad cantidad de litros de pintura.

En el ejemplo 3:

- A doble base corresponde doble altura.

- A triple base corresponde triple altura.

- A cuádruple base corresponde .... altura.

Cuando podemos utilizar este tipo de expresiones:

a doble .............. doble,

a mitad.............. mitad,

a triple ............. triple,

a un tercio.....un tercio,

etc .........................

decimos que las dos magnitudes son directamente proporcionales.

"La superficie de valla a pintar es directamente proporcional al volumen de litros de pintura".

"Las longitudes de las bases son directamente proporcionales a las longitudes de las alturas".

En el ejemplo 4 es conveniente observar que si sólo tomamos valores enteros puede parecer que existe proporcionalidad. No es así, como ponen de manifiesto los siguientes valores:

Tiempo Precio

30 minutos 1 €

60 minutos 1 €

70 minutos 2 €

140 minutos 3 €

En este caso diremos que el precio del estacionamiento no es directamente proporcional al tiempo aparcado.

¿ Y el ejemplo 2 ? Averígualo.

Proporcionalidad y tablas. Regla de tres

¿Cómo reconocer una proporcionalidad directa con tablas?

Esta tabla es de proporcionalidad directa.

Observa:

Al multiplicar un valor de la 1ª serie por un número, el valor de la 2ª serie queda multiplicado por dicho número (o al revés), en consecuencia:

El cociente entre dos números correspondientes de cada serie es constante:

A esta constante ( en el caso anterior 0'25) lo llamaremos razón de proporcionalidad.

Actividades

1. De las siguientes tablas de valores, di cuáles corresponden a una proporcionalidad directa:

2. Dibuja los segmentos correspondientes sabiendo que la razón de proporcionalidad es 3/4.

3. Completa la serie de dibujos sabiendo que la razón de proporcionalidad es 2/3.

4. ¿ Cuál es la razón de proporcionalidad ?

5. Un estudiante pesa algunas bolas de acero. He aquí los resultados:

Diámetro 8 mm 11 mm 16 21 25

Peso 2'1 g 5'5 g 17 38'4 64'9

6. ¿ Son directamente proporcionales las magnitudes diámetro y peso?

7.

8. Vertemos diferentes cantidades de agua en un vaso cónico. En cada vertido medimos la altura del agua y su volumen:

¿ Es el volumen directamente proporcional a la altura ?

Regla de tres directa

Las situaciones de proporcionalidad han dado lugar al aprendizaje de recetas conocidas con el nombre de reglas de tres: Si 5 Kg. de patatas cuestan 2'4 euros.¿Cuánto cuestan 7 Kg.?

Resolviendo:

¿ Por qué efectuamos así esta regla ?

Son magnitudes directamente proporcionales y por lo tanto, los cocientes son iguales:

En general, podemos hacer un esquema para dos magnitudes que sean directamente proporcionales:

No siempre merece la pena aplicar una regla de tres: Si con 10 litros de gasolina recorro 60 Km, con 80 l (8 veces 10 l) recorreré 8 veces más, es decir 8.60=240 Km.

Actividades

9. Completa la siguiente tabla de proporcionalidad:

2 5 4 2+5 5+4 5-2 2+5+6+4

3 9 6

10. Demuestra las siguientes propiedades de las proporciones:

a) Esta propiedad la utilizarás más tarde para resolver problemas de repartos. Si la tabla:

a b c

a' b' c'

es una tabla de proporcionalidad directa (es decir, si se cumple que ), entonces la tabla

a b c a+b+c

a' b' c' a'+b'+c'

también es de proporcionalidad directa ( y entonces también se cumple que

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