Ripple Factor

Tema 2: Problema 14

Obtenga la siguiente expresión:

[pic 1]

A partir de las formulas siguientes:

[pic 2]

Primero de todo definimos las dos fórmulas para cada una de las capas, de esta forma  serán las impedancias equivalentes de las capas hacia la derecha de donde estamos calculando los diferentes factores y de la misma forma  es la impedancia de cada capa.[pic 3][pic 4]

De esta forma podemos obtener la impedancia equivalente  en función de las impedancias anteriores:[pic 5]

[pic 6]

Como se ve en la formula anterior también se tiene que tener en cuenta que  depende del coeficiente de reflexión de cada capa y que  corresponde a la longitud de la capa que se esta estudiando.[pic 7][pic 8]

Con la definición anterior de  nos damos cuenta que . Escribiendo la tangente como suma de exponenciales obtenemos:[pic 9][pic 10]

[pic 11]

Así podemos reescribir la función como:

[pic 12]

Con este mismo procedimiento podemos escribir la otra fórmula para diferentes capas:

[pic 13]

Agrupando ambas formulas, obtenemos:

[pic 14]

[pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

Utilizando la siguiente identidad matemática: , obtenemos la siguiente expresión:[pic 18]

[pic 19]

[pic 20]

[pic 21]

Podemos escribir el coeficiente de reflexión considerando incidencia normal como:

[pic 22]

Utilizando esta igualdad podemos reescribir la formula obtenida anteriormente como:

[pic 23]

Por último, podemos utilizar la siguiente igualdad para obtener el resultado deseado:

[pic 24]

Siendo  el coeficiente de reflexión dela capa i y  la anchura de cada capa.[pic 25][pic 26]

Finalmente obtenemos la expresión:

[pic 27]

Utilizando estas fórmulas dibujamos la potencia reflejada para diferentes frecuencias:

[pic 28]

Tal y como podemos ver, los tres métodos estudiados nos dan los mismos resultados. El código ejecutado esta optimizado y vectorizado para cualquier vector de longitud de onda. Como podemos ver, tanto con el cálculo de las impedancias o el cálculo de gamma, nos dan la misma solución. Para acabar-lo de validar, hemos contrastado el resultado con el ejercicio Problema Multicapa del Tema 2 (utilizaba matrices), y hemos comprobado que también nos da el mismo resultado.

El Sistema se comporta como un espejo ara la longitud de onda de , ya que la mayor parte de la potencia se refleja en este punto. Podemos observar que hay un máximo para esta longitud de onda de la potencia reflejada, donde casi el 90% de la potencia es reflejada, lo que implica que será el punto más óptimo para el espejo. Este valor es muy habitual en los espejos dieléctricos, cosa que podemos intuir que el resultado parece correcto y coherente. Aun así, hay un rango de longitudes amplio para el que la potencia transmitida es más del 80 %, porcentaje suficientemente algo para considerar que una superficie se comporta como un espejo.[pic 29]

Por último, adjuntamos el código utilizado:

Codigo Principal

clear all;

n_0=1; n_1=2.32; n_2=1.38; n_3=n_1; n_4=n_2; n_5=n_1; n_6=n_2; n_F=1.52;

n2=[n_0;n_1;n_2;n_3;n_4;n_5;n_6;n_F]';

d2=[0.086;0.145;0.086;0.145;0.086; 0.145;]'*10^(-6);

Lambda2=linspace(0.6,1.2,10000)'*10^(-6);

Gamma=Coef_reflx2(n2,d2,Lambda2);

Gamma_Z=Impe_entrad(n2,d2,Lambda2);

Pot=abs(Gamma).^2;

Pot_Z=abs(Gamma_Z).^2;

%load('Datos_Multicapa')

figure;

plot(Lambda2*10^(6),Pot,'-r','LineWidth',3.5); hold on

plot(Lambda2*10^(6),Pot_Z,'--b','LineWidth',3.5);

...