Act 3 : Reconocimiento Unidad 1

Act 3 : Reconocimiento Unidad 1

Pagina 1: Exactitud, Precisión y Errores de Redondeo

Cifras significativas.

Cuando se emplea un número en un cálculo, debe haber seguridad de que pueda usarse con confianza. El concepto de cifras significativas tiene dos implicaciones importantes en el estudio de los métodos numéricos.

1.- Los métodos numéricos obtienen resultados aproximados. Por lo tanto, se debe desarrollar criterios para especificar que tan precisos son los resultados obtenidos.

2.- Aunque ciertos números representan número específicos, no se pueden expresar exactamente con un número finito de cifras.

Exactitud y Precisión.

La exactitud se refiere a que tan cercano está el valor calculado o medido del valor verdadero. La precisión se refiere a qué tan cercano está un valor individual medido o calculado respecto a los otros.

La inexactitud se define como un alejamiento sistemático de la verdad. La imprecisión, sobre el otro lado, se refiere a la magnitud del esparcimiento de los valores.

Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgos para que cumplan los requisitos de un problema particular de ingeniería.

Error.

En general, para cualquier tipo de error, la relación entre el número exacto y el obtenido por aproximación se define como:

Error = Valor real -valor estimado = |p-p*|

(Llamado Error Absoluto)

En ocasiones, se sabrá exactamente el valor del error, que denotaremos como Ev, o deberemos estimar un error aproximado.

Ahora, para definir la magnitud del error, o que incidencia tiene en el cálculo el error detectado, podemos normalizar su valor:

Ea = Error relativo (fracción) = (|p-p*|)/p

Como el valor de Ea puede ser tanto positivo como negativo, en muchos casos nos interesa saber más la magnitud del error, caso en el cual usaremos el valor absoluto de este.

Un caso muy interesante es una investigación que realiza Scarborough, en que determinó el número de cifras significativas que contiene el error como:

ERROR DE REDONDEO

Muchas veces, los computadores cortan los números decimales entre el 17° y 12° decimal introduciendo así un error de redondeo

Por ejemplo, el valor de "e" se conoce como 2.718281828... Hasta el infinito.

Si cortamos el número en 2.71828182 (8 cifras significativas luego del punto decimal) estamos obteniendo u error de

E = 2.718281828 -2.71828182 = 0.000000008...

Sin embargo, como no consideramos que el número que seguía al corte era mayor que 5, entonces nos convenía dejar el número como 2.71828183, caso en el cual el error sería solo de

E = 2.118281828 -2.11828183 = -0.000000002..

, que en términos absolutos es mucho menor que el anterior.

En general, el error de corte de las computadoras será muy inferior al error introducido por un usuario, que generalmente corta a un menor número de cifras significativas.

Dependiendo de la magnitud de los números con los que se trabaja, el error de redondeo puede tener una incidencia muy grande muy pequeña en el cálculo final. Así por ejemplo, si tenemos un producto de 502,23 m y un precio en dólares de US $ 7,52, el precio total nos dará US$ 3.776,7696 (que en pesos chilenos, con 1 dólar = $500 nos da $1.888.384,8).

Ahora, si introducimos una variación del 0.1% en los metros del producto y calculamos el total, obtenemos 502,23 * 0.1 % = 507, 54, que en US$ equivalen a US$3.816,7008 (o sea, $1.908.350,4 pesos chilenos, una diferencia de $19.965,6) lo que no deja de ser importante, ya que una variación de 0.1% en el metraje del producto nos da un error superior a 1.5% en el precio final

ERRORES DE TRUNCAMIENTO.

Los errores de truncamiento tienen relación con el método de aproximación que se usará ya que generalmente frente a una serie infinita de términos, se tenderá a cortar el número de términos, introduciendo en ese momento un error, por no utilizar la serie completa (que se supone es exacta).

En una iteración, se entiende como el error por no seguir iterando y seguir aproximándose a la solución. En un intervalo que se subdivide para realizar una serie de cálculos sobre él, se asocia al número de paso, resultado de dividir el intervalo "n" veces.

ERROR NUMERICO TOTAL

El error numérico total se entiende como la suma de los errores de redondeo y truncamiento introducidos en el cálculo.

Pero aquí surge un gran problema. Mientras más cálculos se tengan que realizar para obtener un resultado, el error de redondeo se irá incrementando. Pero por otro lado, el error de truncamiento se puede minimizar al incluir más términos en la ecuación, disminuir el paso o proseguir la iteración ( o sea mayor número de cálculos y seguramente mayor error de redondeo).

Entonces, ¿qué criterio utilizamos? ...lo ideal sería determinar el punto en que los errores de donde empiezan a ocultar la ventaja de considerar un menor error de truncamiento.

Pero como dije, es lo ideal; en la práctica debemos considerar que hoy por hoy los computadores tienen un manejo de cifras significativas mucho mayor que antes por lo que el error de redondeo se minimiza enormemente, aunque no se debe dejar olvidar su aporte al error total.

El error relativo en las siguientes aproximaciones de p=3,35 por p*=3,53 es

Ea= 0,05099

Generalmente, los computadores cortan los números decimales entre el 17° y el:

12°decimal

Asi se introduciendo un error de redondeo

Pagina 4: Método de Bisección

En matemática, el método de bisección es un algoritmo de búsqueda de raíces que trabaja dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raíz.

Supóngase que queremos resolver la ecuación f(x) = 0 (donde f escontinua. Dados dos puntos a y b tal que f(a) y f(b) tengan signos distintos, sabemos por el Teorema de Bolzano que f debe tener, al menos, una raíz en el intervalo [a, b]. El método de bisección divide el intervalo en dos,

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