Actividad 7: practicando la deducción matemática

Actividad 7: practicando la deducción matemática

Primera parte

1. Analiza el siguiente problema:
   
   “En un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual a…” Si escuchan esta frase, probablemente la mayoría de ustedes serán capaces de contestar “el cuadrado de la hipotenusa”. Esto lo aprendieron desde la secundaria, pero para muchos tal vez se les quedó solo una fórmula en la cabeza, y nunca supieron por qué es cierta. Ahora, por razonamiento deductivo, serán capaces de demostrarlo. 
   
   Este es un triángulo rectángulo con sus catetos y su hipotenusa.  En ellos debe cumplirse, según Pitágoras, que a2 + b2 = c2 
   
   [pic 1]

Esto puede arreglarse de la siguiente manera:

[pic 2]

1. En el diagrama anterior coloca las letras “a”, “b” y “c” en todas las letras correspondientes.

1. Encuentra una manera de probar que a2 + b2 = c2.

Calcularemos el área del cuadrado de contorno rojo de la siguiente manera: [pic 3]

Formula para área de cuadrado

L² es decir  (a+b)²

Desarrollamos el binomio

(a+b)²        = a²+2ab+b²  

 a²+2ab+b²   área del triángulo rojo

También podemos decir que la suma del área del cuadrado amarillo mas el área de los 4 triangulos azules es igual al área del cuadrado  rojo[pic 4]

c²= área del cuadrado amarillo                                 = área de triangulo azul[pic 5][pic 6]

  a²+2ab+b²= c² + 4 [pic 7]

a²+2ab+b²= c² + 2ab

despejamos c²

a²+b²+2ab-2ab= c²

a²+b²= c²

Segunda parte

1. Analiza el siguiente problema: 
   
   Hemos explicado que el área de un triángulo rectángulo es un medio del producto de la base por la altura. Pero no sucede esto solamente para un triángulo rectángulo, sucede para todos los triángulos.  ¿Cómo podemos demostrarlo?  
   
   En un triángulo cualquiera.
   
   [pic 8]

[pic 9]

Tenemos un triángulo ABC donde se ha trazado una altura H por fuera de este triángulo, formando dos triángulos rectángulos, el ADC y el BDC.

Obtendremos el área del triangulo ABC de la diferencia de ADC y BDC, para esto obtendremos el área de cada uno.[pic 10][pic 11]

Área de triangulo ADC =                          Area de triangulo BDC=

Por tanto el área del triangulo ABC :[pic 12][pic 13][pic 14]

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