Angulos

Ángulo

Para otros usos de este término, véase Ángulo (desambiguación).

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Un ángulo positivo de 45°.

Ángulo de 1°

(amplitud de 1 grado sexagesimal).

Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen o vértice.1 Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.

Pueden estar definidos sobre superficies planas (trigonometría plana) o curvas (trigonometría esférica). Se denomina ángulo diedro al espacio comprendido entre dos semiplanos cuyo origen común es una recta. Un ángulo sólido es el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamaño aparente.

Índice

1 Definición y características

1.1 Definiciones clásicas

1.2 Región angular

2 Amplitud de un ángulo

2.1 Unidades de amplitud

3 Tipos de ángulos

3.1 Ángulos convexo y cóncavo

4 Ángulos relacionados

5 Ángulos de un polígono

6 Ángulos respecto de una circunferencia

7 Trisección del ángulo

8 Ángulos tridimensionales

8.1 Coordenadas angulares tridimensionales

9 Ángulos en un espacio vectorial

10 Galería de ángulos

11 Véase también

12 Referencias

13 Enlaces externos

Definición y características

Existen básicamente dos formas de definir un ángulo en el plano:

Forma geométrica: Se le llama "ángulo" a la amplitud entre dos líneas de cualquier tipo que concurren en un punto común llamado vértice. Coloquialmente, ángulo es la figura formada por dos líneas con origen común. El ángulo entre dos curvas es el ángulo que forman sus rectas tangentes en el punto de intersección.

Forma trigonométrica: Es la amplitud de rotación o giro que describe un segmento rectilíneo en torno de uno de sus extremos tomado como vértice desde una posición inicial hasta una posición final. Si la rotación es en sentido levógiro (contrario a las manecillas del reloj), el ángulo se considera positivo. Si la rotación es en sentido dextrógiro (conforme a las manecillas del reloj), el ángulo se considera negativo.

Definiciones clásicas

Euclides define un ángulo como la inclinación mutua de dos líneas que se encuentran una a otra en un plano y no están en línea recta. Según Proclo, un ángulo debe ser una calidad o una cantidad, o una relación. El primer concepto fue utilizado por Eudemo de Rodas, que describió un ángulo como desviación de una línea recta; el segundo por Carpo de Antioquía, que lo vio como el intervalo o el espacio entre las líneas que se intersecaban; Euclides adoptó un tercer concepto, aunque sus definiciones de ángulos rectos, agudos, y obtusos son cuantitativas.

Región angular

Se denomina región angular cada una de las dos partes en que queda dividido el plano por un ángulo.2

Amplitud de un ángulo

Se llama amplitud de un ángulo a la medida de éste.2

Unidades de amplitud

Transportador de ángulos.

Las unidades utilizadas para la medida de los ángulos del plano son:

Radián (usado oficialmente en el Sistema Internacional de Unidades)

1\; vuelta = 2\; \pi \;\; rad

Grado sexagesimal

1\; vuelta = 360^0

Grado centesimal

1\; vuelta = 400^g

Los ángulos se pueden medir mediante utensilios tales como el goniómetro, el cuadrante, el sextante, la ballestina, el transportador de ángulos o semicírculo graduado, etc.

Tipos de ángulos

Los ángulos, de acuerdo con su amplitud, reciben estas denominaciones:

Las manillas de un reloj conforman distintos tipos de ángulos. En este caso, un ángulo agudo.

Tipo Descripción

Ángulo nulo

Angulo000.svg

Es el ángulo formado por dos semirrectas coincidentes, por lo tanto su abertura es nula, o sea de 0°.

Ángulo agudo

Angulo045.svg

Es el ángulo formado por dos semirrectas con amplitud mayor de 0 rad y menor de \frac{\pi}{2} rad.

Es decir, mayor de 0° y menor de 90° (grados sexagesimales), o menor de 100g (grados centesimales).

Ángulo recto

Angulo090.svg

Un ángulo recto es de amplitud igual a \frac{\pi}{2} rad.

Es equivalente a 90° sexagesimales (o 100g centesimales).

Los dos lados de un ángulo recto son perpendiculares entre sí.

La proyección ortogonal de uno sobre otro es un punto, que coincide con el vértice.

Ángulo obtuso

Angulo135.svg

Un ángulo obtuso es aquel cuya amplitud es mayor a \frac{\pi}{2} rad y menor a \pi\, rad.

Mayor a 90° y menor a 180° sexagesimales (o más de 100g y menos de 200g centesimales).

Ángulo llano

Angulo180.svg

El ángulo llano tiene una amplitud de \pi \, rad.

Equivalente a 180° sexagesimales (o 200g centesimales).

Ángulo oblicuo

Angulo225.svg

Ángulo que no es recto ni múltiplo de un ángulo recto.

Los ángulos agudos y obtusos son ángulos oblicuos.

Ángulo completo

o perigonal

Angulo360.svg

Un ángulo completo o perigonal, tiene una amplitud de 2\pi\, rad.

Equivalente a 360° sexagesimales (o 400g centesimales).

Ángulos convexo y cóncavo

En un plano, dos semirrectas (no coincidentes ni alineadas) con un origen común determinan siempre dos ángulos, uno convexo (el de menor amplitud) y otro cóncavo (el de mayor amplitud):1

Tipo Descripción

Ángulo convexo

o saliente

Angulo060.svg

Es el que mide menos de \pi\, rad.

Equivale a más de 0° y menos de 180°sexagesimales (o más de 0g y menos de 200g centesimales).

Ángulo cóncavo,

reflejo o entrante

Angulo240.svg

Es el que mide más de \pi\, rad y menos de 2 \pi\, rad.

Esto es, más de 180° y menos de 360° sexagesimales (o más de 200g y menos de 400g centesimales).

Ángulos relacionados

En función de su posición, se denominan:

ángulos adyacentes, los que tienen un vértice

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