Aplicación de cadenas de Markov para los cambios climáticos en Pereira para el mes de Diciembre del año 2015

Aplicación de cadenas de Markov para los cambios climáticos en Pereira para el mes de Diciembre del año 2015

Application of Markov chains for climate changes in Pereira in December 2015

Autor 1: Daniela Osorio Pardo Autor 2: Juan David Londoño Giraldo

Facultad Ingeniería Industrial, Universidad Tecnológica de Pereira, Pereira, Colombia

Resumen— Para este trabajo de investigación se quizo utilizar el metodo de cadenas de Markov para poder hallar las probabilidades correspondientes para el clima en la ciudad de Pereira en el mes de Diciembre y principios del mes de Enero. Se hallaron probabilidades que para este mes se van a obervar tiempos predominantes de tormentas y a su vez tiempos soleados o con chubascos, esto en muy comun en la ciudad de Pereira pues el clima es muy cambiante diariamente. Tambien se pudo recurrir a ciertos tiempos como por ejemplo a tiempor de recurrencia y a tiempos de primer paso, los cuales no dan unos resultados para conocer cuantos dias se tardará  un estado en pasar a otro o en volver a el mismo estado por primera vez.

Palabras clave— Cadenas de Markov, Matriz de transiciones,Vector de estado estable, estados, tiempos de recurrencia, tiempos de primer paso.

Abstract- for this research was used the method of Markov chains in order to find the corresponding probabilities for the climate in the city of Pereira in the month of December and beginning of January . Odds say that for this month obervar Storms prevailing times and in turn sunny with showers or times will be found , this is very common in the city of Pereira because the climate is changing daily . It could also resort to certain times example as for recurrence times and times of Step , which do not give each Results for a state to know how many days it will take to Spend a further or return to the same state for the first time.

Key Word — Markov chains, Transition Matrix, Vector steady state, states, recurrence times, times of first step.

1. INTRODUCCIÓN

Las cadenas de Markov con utilies hoy en dia para distintos campos y areas de estudio como por ejemplo la investigación de operanciones, matematicas estadisticas, entre otras, las cuales son utiles para dar a conocer datos a futuro sobre un tema en especifico que se quiere conocer.

Para este caso se ha tomado la decision de analizar el clima en la ciudad de Pereira  basado en las cadenas de Markov, donde se podrá ver la transición del clima en el siguiente mes (04 diciembre 2015-04 de enero de 2016), además donde podrá evidenciarse en qué momento del mes se estabilizará el clima. 

1. MARCO TEÓRICO

Una cadena de Markov es una sucesión de ensayos similares u observaciones en la cual cada ensayo tiene el mismo número finito de resultados posibles y en donde la probabilidad de cada resultado para un ensayo dado depende sólo del resultado del ensayo inmediatamente precedente y no de cualquier resultado previo.

Al trabajar con cadenas de Markov, a menudo es útil pensar la sucesión de ensayos como experimentos efectuados en cierto sistema físico, cada resultado dejando a este sistema en cierto estado.

Los procesos de paseo aleatorio en realidad son un caso particular de procesos más generales que son las cadenas de Markov. En esencia, una cadena es un proceso en tiempo discreto en el que una variable aleatoria Xn va cambiando con el paso del tiempo. Las cadenas de Markov tienen la propiedad de que la probabilidad de que Xn = j sólo depende del estado inmediatamente anterior del sistema: Xn−1. Cuando en una cadena dichas probabilidades no dependen del tiempo en que se considere, n,

[pic 1]

Se denomina cadena homogénea, esto es, las probabilidades son las mismas en cada paso.

Hablando ahora de la probabilidad [pic 2]sabemos que es  una probabilidad de bastante interés es la probabilidad de llegar a Ej después de n pasos, dada una distribución de probabilidad n p (0) i o . 2 Se observa que n p (0) i o es la probabilidad de que el sistema ocupe inicialmente el estado Ei, de modo que Xm i=1 p (0) i = 1. Si se denomina p (1) j a la probabilidad de alcanzar Ej en un solo paso, entonces, por el teorema de probabilidad total p (1) j = Xm i=1 p (0) i pij .

1. DEFINICIONES

2.1 Cadenas de Markov

Las cadenas de Markov son un tipo especial de proceso estocástico, en el cual se desean estudiar los estados del fenómeno en saltos o en forma discreta a través del tiempo.

2.2 Variable discreta

Es aquella variable que sólo puede tomar algunos valores dentro de un minimo conjunto numerable, es decir los valores enteros.

2.3 Variable contiua

Es una variable que toma valores fijos dentro de un intervalo determinado.

2.4 Tipos de estados

Los tipos de estados mas utilizados para clasificar según su saida y llegada a otro estado son:

1. Estado recurrente: Simepre que se salga del estado existe al menos la posibilidad de volver a regresar.
2. Estado transitorio: Si se sale del estado no se puede regresar a el

1. Estado Absorbente: Se llega al estado y no existe ninguna posibilidad de salir de él.

2.5 Matriz de trancisiones

La matriz de transiciones es aquella matriz en la cual se escriben las probabilidades de transicion entre los estados de forma ordenada. Para construir una matriz de trancisiones lo primero que se debe hacer es identificar el fenónmeno que se quiere estudiar, luego definir los estados, se toman los datos y por ultimo se cuenta el numero de transiciones que existen entre los datos observados y asi construir la matriz.

2.6 Ecuaciones de Chapman Kolmogorov

Nos permiten encontrar las probabilidades de un fenomeno a corto, mediano y largo plazo. Para ello se debe multiplicar la matriz inicial P un minimo de n veces o transiciones hasta encontrar las probabilidades en el futuro.

2.7 Vector de estado estable:

En las cadenas de Markov ergódicas o irreducibles si se halla Pn con n lo suficientemente grande, se encuentra el vector de estado estable, el cual representa las probabilidades puntuales de cada uno de los estados a largo plazo o cuando se estabiliza el sistema. El vector de estado estable es independiente de las condiciones iniciales del sistema.

2.8 Tiempos de primer paso:

Es el tiempo que transcurre para pasar del estado i al estado j por primera vez (se halla el tiempo y no las probabilidades).

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