Aplicaciones de la Diferenciación Taylor`s teorema (teorema 96 ) se aplica por lo general en lo siguiente

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Aplicaciones de la Diferenciación

Taylor`s teorema (teorema 96 ) se aplica por lo general en lo siguiente:

Corolario 96

Fórmula Taylor`s

• 
  Sea n E S * , que sea un intervalo abierto no trivial de longitud L
• y f: i -R ser n veces diferenciable
• 
  Por último , vamos a Xº E I y C > 0 tal que

(Formula)

Para todo x E I

• en ese caso                     (Formula)

Para todo x E I

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Observación 6

• 
  el polinomio

(Formula)

Para se llama todo x E R en corolario 97 " (n - 1) polinomio de grado de f centrado en Xº

en particular , se sigue (para el caso n = 2 ) que

(Formula)

para todo x E R

que también se llama la " linealización o aproximación lineal de f en Xº

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El polinomio

(Formula)

para se llama todo x E R en corolario 97 " (n - 1 ) polinomio de grado de f centrado en Xº

en particular , se sigue (para el caso n = 2 ) que

(Formula)

Para todo x E R

Lo que también se llama la " linealización o aproximación lineal de f en Xº

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Observación ( cont . )

Y

(formula)

                si c > 0 es tal que

(formula)

para todo x E I

en las aplicaciones , a menudo se encuentran con la notación

(formula)

que establece que f y p1 son aproximadamente la misma Xº cerca

si el error puede ser visto como "insignificante " para la aplicación , esto a menudo conduce a una sustitución de f su linealización .

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Figura 41 : gráficas de f y p1 de corolario 98

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Ejemplo 98

calcular el p1 linealización de f: ( fórmula ) definido por

(formula)

Para todos (formula)

y estimación es de error en el intervalo

SOLUCION

f es dos veces diferenciable en ( fórmula ) con

(Formula)

por lo tanto, p1 está dada por

(formula)

para todo x E R

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Ejemplo (cont.)

-Porque

(Formula)

para todo x E R (formula)

se deduce a partir de ( 332 ) que el valor absoluto de las satisface error relativo

(formula)

Para todo x E  (formula)

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Sabemos que la primera derivada de una función f en un punto P de su dominio proporciona la pendiente de la tangente en la gráfica de la función en el punto (p, f ( p) )

Por lo tanto es lógico preguntarse si hay una interpretación geométrica de la segunda derivada

De hecho, tal interpretación se puede dar en términos de la manera en que la gráfica de la función " dobla "

Esto puede ser visto usando Taylor`s teorema

Para esto, se considera una función de tres veces continuamente diferenciable f definida en un subintervalo abierto (a, b ) de R

Donde a, b E R son tales que a> b.

            Además, vamos a Xº , X E ( a, b)

         
           De acuerdo con el teorema Taylor`s , hay () en el intervalo abierto entre Xº y tal que x

(Formula)

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Si F` ( Xº ) = 0 , puesto que f```` es continuo, si sigue para x suficientemente cerca de Xº que

(Formula)

y por lo tanto que

(Formula)

Y

(Formula)

Si f`` (xº)<0

Por lo tanto, si f`` ( Xº ) > 0 para x suficientemente cerca para Xº , el valor de f ( x) es superior al valor de su linealización en Xº

O, equivalentemente, punto (x, f ( x)) se encuentra por encima de la tangente en Xº .

           En este caso, decimos que f es localmente convexa en Xº

            en este caso, decimos que f es localmente convexa en Xº

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Si f`` ( Xº ) < 0 , para x suficientemente cerca de Xº , el valor de f ( x) es más pequeña tha el valor de su linealización en el Xº

O , lo que es equivalente , punto (x, f (xx ) ) se encuentra por debajo de la tangente en Xº .

En este caso, decimos que f es localmente cóncava en Xº

...