Aportaciones De Albert Einstein

Movimiento Browniano

1. Introduccion

En un principio puede parecer que con los fractales, que son estructuras definidas mediante ecuaciones iterativas y determinísticas, se puede representar matemáticamente cualquier fenómeno natural. Sin embargo, la realidad es otra. Por muy complejo que sea el fractal y las irregularidades que presente, nunca podrá representar exactamente fenómenos naturales devido a la gran cantidad de irregualridades aleatorias que estos contienen.

2. Descripcion

El movimiento browniano es el movimiento aleatorio que se observa en algunas partículas microscópicas que se hallan en un medio fluido (por ejemplo, polen en una gota de agua). Recibe su nombre en honor al escocés Robert Brown, biólogo y botánico que descubrió éste fenómeno en 1827 y observó que pequeñas partículas de polen se desplazaban en movimientos aleatorios sin razón aparente.

El movimiento aleatorio de estas partículas se debe a que su superficie es bombardeada incesantemente por las moléculas (átomos) del fluido sometidas a una agitación térmica.

Este bombardeo a escala atómica no es siempre completamente uniforme y sufre variaciones estadísticas importantes. Así, la presión ejercida sobre los lados puede variar ligeramente con el tiempo, y así se genera el movimiento observado.

El primer estudio matemático del movimiento browniano (como un proceso estadístico, y no específicamente como la danza de los granos de polen) fue realizado por Louis Bachelier en su tesis doctoral 1900 Theorie de la speculation, un modelo matemático de la bolsa de valores.

Aparentemente sin conocer el trabajo de Bachelier, en 1905 Albert Einstein estudió la dinámica de las colisiones moleculares proporcionando un soporte cuantitativo a la idea de que el movimiento browniano de polen fue el resultado de las partículas de polen de ser golpeado por las moléculas de agua sometidas a movimiento térmico.

En 1910, Jean Perrin extendió el análisis de Einstein para calcular el número de Avogadro y proporcionan una fuerte evidencia de la existencia de los átomos.

Los fundamentos matemáticos para el movimiento browniano se establecieron en 1923 por Norbert Weiner.

3. Moelización matemática

Vamos a establecer un modelo plano del movimiento de partículas entre colisiones mediante dos hipótesis: describiendo el movimiento de una partícula entre dos puntos de coordenadas polares r,q el radio del desplazamiento es una variable aleatoria con distribución normal y el ángulo una variable aleatoria con distribución uniforme entre 0 y 2p.

La descripción podemos hacerla trazando las trayectorias o relacionando las coordenadas de cada punto con el tiempo t, de manera que, para un movimiento plano, obtendríamos una superficie. Y para un movimiento de las partículas sobre R, tendríamos una curva (t,f(t)), es decir, una serie temporal.

Consideremos un modelo del movimiento de una partícula sobre una recta con las siguientes condiciones:

a) La partícula parte del origen t=0.

b) En cada paso discreto de tiempo h, la partícula se desplaza aleatoriamente una longitud L o –L, con probabilidad 0.5 en cada caso.

Representamos con X(t) la función aleatoria asociada que mide la posición de la partícula en cada instante:

Cada Xj es una variable aletatoria con la siguiente distribución de probabilidad

independientemente de las etapas previas.

Así, X(t) es la suma de una sucesión de variables aleatorias independientes e igualmente distribuidas:

Si normalizamos tomando L=h1/2, queda

sien do ahora las variables Xj tales que Xj = 1 o Xj = -1, en cada caso con p=1/2

Teniendo en cuenta el Teorema del Límite Central, para valores pequeños de h, X(t) es aproximadamente normal con media 0 y varianza t.

lo que se demuestra por inducción.

Es importante observar que la varianza resulta proporcional a t, tiempo transcurrido desde el inicio del movimiento. En particular, X(t+h)-X(t) para t y h fijos y n suficientemente grande, es aproximadamente normal (0,h) y los incrementos X(t)-X(t1) y X(t2)-X(t) son variables aleatorias independientes. El movimiento browniano se define como el proceso aleatorio límite que se encuentra cuando n crece indefinidamente.

En forma axomática, diremos que una función aleatoria B(t) es un movimiento browniano si

1) B(0) = 0 ( con probabilidad 1)

2) Los incrementos DB = B(t+h) – B(t) son gaussianos, con media nula y varianza h (proporcional al tiempo transcurrido)

Se observa que B(t) resulta así N(0,t) para cada valor de t y que los incrementos B(t+h) – B(t) son estacionarios.

El axioma 2) se puede modificar sustituyendo

por la condición de incrementos sucesivos independientes y, por lo tanto, incorrelados.

5. Movimiento Browninano Fraccionario

Uno de los más útiles modelos para los fractales aleatorios ( tales como montañas y nubes) ha sido el movimiento fraccionario browniano (mfB). Es una extensión del concepto central de movimiento browniano. Casi todas las simulaciones gráficas de fractales por computador están basadas en dicho movimiento aplicado a dimensiones superiores ( por ejemplo la generación de superficies ).

Definamos un mfB como una función de una variable t (generalmente el tiempo), VH(t). Sus incrementos VH(t2) – VH(t1) tiene una distribución gaussiana.

El comportamiento de diferentes escalas estará determinado por el parámetro H (0<H<1). Para una H pequeño tendremos un comportamiento

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