Base Y Dimensión

5.66

Hallar una base y la dimensión del subespacio W de R^4 generado por:

(1,4,-1,3), (2,1,-3,-1) y (0,2,1,-5)

(1,-4,-2,1), (1,-3,-1,2) y (3,-8,-2,7)

Solución:

(1,4,-1,3), (2,1,-3,-1) y (0,2,1,-5)

*Formamos la matriz cuyas filas son los vectores dados, y reducimos por filas a la forma escalonada.

(■(1&4&-1&3@2&1&-3&-1@0&2&1&-5)) F2→F2-2F1

(■(1&4&-1&3@0&-7&-1&-7@0&2&1&-5))F2→-1/7F2

(■(1&4&-1&3@0&1&1/7&1@0&2&1&-5))F3→F3-2F2

(■(1&4&-1&3@0&1&1/7&1@0&0&5/7&-7))

Las filas distintas de cero de la matriz (1,4,-1,3), (0,1,1/7,1) y (0,0,5/7,-7) forman una base de W, entonces Dim W=3.

(1,-4,-2,1), (1,-3,-1,2) y (3,-8,-2,7)

*Formamos la matriz cuyas filas son los vectores dados, y reducimos por filas a la forma escalonada.

(■(1&-4&-2&1@1&-3&-1&2@3&-8&-2&7)) F2→F2-F1 F3→F3-3F1

(■(1&-4&-2&1@0&1&1&1@0&4&4&4))F3→F3-4F2

(■(1&-4&-2&1@0&1&1&1@0&0&0&0))

Las filas distintas de cero de la matriz (1,-4,-2,1), (0,1,1,1) forman una base de W, entonces Dim W=2.

5.67

Sea V el espacio de las matrices 2x2 sobre R y sea W el subespacio generado por:

(■(1&-5@-4&2)), (■(1&1@-1&5)),(■(2&-4@-5&7))y(■(1&-7@-5&1))

Hallar una base y la dimensión de W.

Solución:

Antes de proceder a hallar una base del subespacio, se expresan los vectores (matrices) respecto de la base usual:

W1=(1,-5,-4,2) W2=(1,1,-1,5) W3=(2,-4,-5,7) W4=(1,-7,-5,1)

Entonces formamos la matriz cuyas filas son los vectores (matrices), y reducimos por filas a la forma escalonada.

(■(1&-5&-4&2@1&1&-1&5@2&-4&-5&7@1&-7&-5&1)) F2→F2-F1 F3→F3-2F1 F4→F4-F1

(■(1&-5&-4&2@0&6&3&3@0&6&3&3@0&-2&-1&-1)) F2→1/6F2

(■(1&-5&-4&2@0&1&1/2&1/2@0&6&3&3@0&-2&-1&-1)) F3→F3-6F2 F4→F4+2F2

(■(1&-5&-4&2@0&1&1/2&1/2@0&0&0&0@0&0&0&0))

Las filas distintas de cero de la matriz (1,-5,-4,2)= (■(1&-5@-4&2)), (0,1,1/2,1/2)= (■(0&1@1/2&1/2)), forman una base de W, entonces Dim W=2.

5.68

Sea W el espacio generado por los polinomios

u=t^3+〖2t〗^2-2t+1 v=t^3+〖3t〗^2-t+4 w=2t^3+t^2-7t-7

Hallar una base y la dimensión de W.

Solución:

*Formamos la matriz cuyas filas son los vectores dados, y reducimos por filas a la forma escalonada.

(■(1&2&-2&1@1&3&-1&4@2&1&-7&-7))F2→ F2-F1 F3→F3-2F1

(■(1&2&-2&1@0&1&1 &3@0&-3&-3&-9)) F3→F3+3F2

(■(1&2&-2&1@0&1&1 &3@0&0&0&0))

Los polinomios u=t^3+〖2t〗^2-2t+1 v=t^3+〖3t〗^2-t+4 forman una base de W. Luego la dimensión de W=2.

5.71

Hallar un sistema homogéneo cuyo conjunto solución W sea generado por.

{(1,-2,0,3,-1), (2,-3,2,5,-3), (1,-2,1,2,-2)}

Solución:

Sea v=(x,y,z,w,t). Formamos la matriz M cuyas primeras filas

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