COMPONENTE DE UN VECTOR

COMPONENTE DE UN VECTOR

Es muy común que representemos un vector utilizando los valores de sus componentes.

Las componentes cartesianas de un vector son los vectores que se obtienen al proyectarlo sobre los ejes de un sistema de coordenadas situado en el origen del vector.

El siguiente simulador dibuja automáticamente las componentes del vector A. Puedes pulsar y arrastrar con el ratón el extremo del vector.

QUE ES UN VECTOR

El vector es un concepto que proviene de la física, en la que se distingue entre magnitudes escalares y magnitudes vectoriales. Mientras que la magnitud escalar se expresa con un número (por ejemplo, la masa de un cuerpo, el volumen, la capacidad de un depósito, la temperatura...), en la vectorial se necesita además la dirección y el sentido. Por ejemplo, cuando nos referimos a un movimiento, no basta con indicar el desplazamiento (módulo), sino también la dirección y el sentido del movimiento. Con este concepto podemos describir en física la velocidad, la aceleración, la fuerza...

Un vector fijo del plano es un segmento cuyos extremos están dados en un orden (segmento orientado). Se representa como AB (con una flecha en la parte superior) siendo A y B los extremos. Los puntos en que comienza y termina el vector se llaman origen y extremo, respectivamente.

VECTORES OPUESTOS

Un vector opuesto a otro es el que tiene el mismo punto de aplicación, módulo y dirección pero sentido contrario. Así el vector opuesto a es .

VECTORES PARALELOS

Es aquel que en ningún momento de su prolongación corta al otro vector paralelo a el.

VECTORES ORTOGONALES

Dos vectores son ortogonales si su producto escalar es cero.

Si además de ortogonales los vectores son unitarios se llaman ortonormales.

A veces nos piden construir una base ortonormal a partir de otra base que no es ortonormal. Esto se puede hacer por el método de Gram-Schmidt.

Sea B = {b1,b2,b3} una base que no es ortonormal. Los vectores:

c1 = b1

c2 = b2 - c1.b2/c1.c1(c1)

c3 = b3 - c1.b3/c1.c1(c1) - c2.b3/c2.c2(c2)

VECTORES EQUIVALENTES

Dos vectores son equivalentes (a este nivel los consideramos iguales) si tienen el mismo módulo, dirección y sentido. Se suelen representar , , ..., o con negrita, u, v...

Se dice que un vector fijo tiene la misma dirección que otro si los segmentos que los definen pertenecen a rectas paralelas.

VECTORES NULO

En matemáticas, un vector nulo o vector cero se refiere a un vector que posee módulo (longitud) cero.

Por ejemplo, en el plano cartesiano, el vector nulo es el vector (0,0), es decir, que inicia y termina en el origen. Su representación gráfica es un punto.

En general en un espacio vectorial arbitrario V, el vector u nulo es el vector nulo si u + v = v + v + u para cualquier vector v.

Fijando una base, se tiene que el vector nulo siempre tiene las coordenadas (0,0, ..., 0).

El vector cero es un caso especial de tensor cero. Es el resultado del producto escalar por el número 0.

VECTORES UNITARIOS

En álgebra lineal, un vector unitario es un vector de módulo uno. Frecuentemente se lo llama también versor o vector normalizado.

MODULO DE UN VECTOR

El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define.

El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector nulo tiene módulo cero.

VECTOR LIBRE

Es todo vector del plano que tiene mismas características: mismos módulo, dirección y sentido.

Un vector libre es, pues, el conjunto de los vectores del plano que tienen mismo módulo, misma dirección y mismo sentido. Se llama vector libre a cada una de las clases de segmentos orientados equipolentes. Por tanto, cada vector libre está definido por un módulo, una dirección, y un sentido. Un vector libre queda caracterizado por su módulo, dirección y sentido. El vector libre es independiente del lugar en el que se encuentra.

PROYECCIÓN DE UN VECTOR

La proyección se expresa por la forma: , y viene dada por:

El vector proyección de: sobre se calcula por:

PROYECCIÓN DE UN VECTOR SOBRE UN RECTA

La proyección de un vector A sobre una recta r es otro vector cuya dirección coincide con la de la recta, cuyo punto de aplicación es el mismo de A, y cuyo extremo se obtiene trazando desde el extremo de A una perpendicular sobre la recta. Designaremos a la proyección de A sobre r por A sobre r

El modulo de la proyección de un vector sobre una recta es fácil de determinar en función del modulo del vector y del ángulo θ formado por el vector y la recta.

SUMA Y RESTA DE VECTORES

Una forma gráfica sencilla para sumar vectores es usando el método del paralelogramo, que consiste en trazar las paralelas a los vectores hasta formar y la suma correspondería a la diagonal que va del origen hasta el vértice más lejano (ver dibujo).

Lo mismo es aplicable a la resta de vectores: -

El método del paralelogramo se puede deducir otra forma gráfica de sumar y restar vectores que queda clara con el siguiente dibujo.

El método consiste en desplazar el vector B al final del vector A y unir el origen con el final del vector B (el método es similar para la resta de vectores [A -B], sólo debe cambiarse el sentido del vector B a -B y sumar este último al vector A:

MULTIPLICACIÓN DE VECTORES

Un vector encierra más información que un número, nos da (en el caso de una dimensión) la magnitud, que es un número, y el sentido, si apunta hacia la izquierda o la derecha en el eje x.

¿Cuál es el significado que asociamos a (3,7 )?

Si el número es positivo, como es el caso de 3,7, lo que hace es multiplicar el largo del vector (su magnitud, que es un número) por 3,7,o el número que instalemos delante del vector. El resultado es que la nueva magnitud del vector es el producto de la antigua por el número dado. Si el número es negativo, la operación es idéntica, salvo que el vector cambia su sentido.

PROPIEDADES DE LA ADICIÓN DE VECTORES

Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son:

•

Origen

O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa el

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