CRECIMIENTO EN S: EPIDEMIAS, DIFUSIÓN DE LA INNOVACIÓN Y EL CRECIMIENTO DE NUEVOS PRODUCTOS

9. CRECIMIENTO EN S: EPIDEMIAS, DIFUSIÓN DE LA INNOVACIÓN Y EL CRECIMIENTO DE NUEVOS PRODUCTOS

Como se ve en el capítulo 8, la retroalimentación positiva crea un crecimiento exponencial. Pero una cantidad real no puede crecer para siempre. Cada sistema inicialmente dominado por retroalimentación positiva se aproxima eventualmente a la capacidad de carga de su entorno. A medida que los límites del enfoque de crecimiento, hay una transición no lineal de la dominación por la retroalimentación positiva a la dominación por la retroalimentación negativa. Bajo ciertas condiciones, el resultado es un crecimiento en forma de S, donde la población en crecimiento se acerca sin problemas al equilibrio.
Este capítulo muestra cómo se puede modelar el crecimiento en forma de S, con aplicaciones a la difusión de innovaciones, a la propagación de enfermedades infecciosas y virus informáticos, al crecimiento del mercado de nuevos productos y otros. Se presenta y analiza una variedad de modelos importantes y ampliamente utilizados de crecimiento en forma de S, se discute el uso de estos modelos para la predicción y se presentan extensiones a los modelos. Los casos examinados incluyen la propagación de la enfermedad de las vacas locas y el VIH y el crecimiento de los mercados de productos de alta tecnología, como computadoras y servicios al consumidor, como la televisión por cable.

9.1 MODELIZACIÓN DEL CRECIMIENTO EN FORMA S
El modelo de población no lineal desarrollado en el capítulo 8 es bastante general. La población del modelo puede ser cualquier cantidad que crezca en un entorno fijo, por ejemplo, el número de adoptantes de una innovación, el número de personas infectadas por una enfermedad, la fracción de cualquier grupo que se adhiera a una idea o que compre un producto, y así. Si la población es impulsada por retroalimentación positiva cuando es pequeña en relación con sus límites, entonces el comportamiento resultante será crecimiento en forma de S, siempre y cuando no haya retrasos significativos en las retroalimentaciones negativas que restringen la población. Si hay retrasos en la respuesta de la población a la capacidad de carga que se aproxima, el comportamiento será crecimiento en forma de S con sobrepaso y oscilación; Si la capacidad de carga es consumida por la población en crecimiento, el comportamiento se superará y se derrumbará (véase el capítulo 4).A la inversa, cuando se observa un sistema que ha experimentado crecimiento en forma de S, se sabe que inicialmente el comportamiento estaba dominado por bucles de retroalimentación positiva, pero a medida que el sistema crecía, había un cambio no lineal a la dominancia por la retroalimentación negativa.

9.1.1 Crecimiento logístico
Como se ilustra en el ejemplo de crecimiento de población no lineal en el capítulo 8, la tasa de crecimiento fraccionario neto de la población P debe caer de su valor inicial, pasar a cero cuando la población es igual a la capacidad de carga C y volverse negativa cuando P> C.
En consecuencia, el gráfico de fases de la tasa de natalidad neta debe tener una forma más o menos similar a un tazón invertido: Nacimientos netos son cero cuando la población es cero, suben con el aumento de la población hasta un máximo, caen a cero a la capacidad de carga y continúan Caída, cada vez más negativa, cuando la población excede la capacidad de carga. Sin embargo, hay un número infinito de curvas de tasa de natalidad netas fraccionarias, y por lo tanto diagramas de fase, satisfaciendo estas limitaciones generales. Un caso especial importante de crecimiento en forma de S se conoce como crecimiento logístico, o crecimiento de Verhulst, después de Franqois Verhulst, que publicó por primera vez el modelo en 1838 (véase Richardson 1991).
El modelo de crecimiento logístico postula que la tasa neta fraccionaria de crecimiento poblacional
Es una función lineal (inclinada hacia abajo) de la población. Es decir,

Tasa de natalidad neta = g (P, C) P = g * (l - P / C) P                        (9-1)

Donde g (P, C), la tasa de crecimiento fraccional, es una función de la población y la capacidad de carga y g * es el crecimiento fraccional máximo (la tasa de crecimiento fraccional cuando la población es muy pequeña). El modelo logístico se ajusta a los requisitos para el crecimiento en forma de S: la tasa de crecimiento neto fraccional es positiva para P C. El modelo logístico tiene algunas características adicionales. Reordenar la ecuación (9-1) da

Tasa de natalidad neta = g * (l - P / C) P = g * P - g * pZ / C                (9-2)

El primer término g * P es un proceso de retroalimentación positiva lineal de primer orden estándar; el
Segundo término, -g * P2 / C, es no lineal en la población y representa la retroalimentación negativa más fuerte causada por el acercamiento de la población a su capacidad de carga.

¿Cuándo la tasa de crecimiento neta alcanza su máximo? En el modelo logístico
La tasa de natalidad neta dada por la ecuación (9-2) es una parábola invertida que pasa por cero en los puntos P = 0 y P = C. Como una parábola es simétrica alrededor de su pico, la tasa neta máxima de nacimiento ocurre cuando

P (inf) = c / 2                         (9 - 3)

Donde P (inf) es el valor de la población donde la tasa de crecimiento neto es máxima y, por tanto, el punto de inflexión en la trayectoria de la población. La tasa de crecimiento neta máxima se produce precisamente a la mitad de la capacidad de carga. La Figura 9-1 representa la tasa de crecimiento fraccional, el gráfico de fases y el comportamiento del dominio del tiempo para el modelo logístico. El modelo logístico es importante por varias razones. En primer lugar, muchos procesos de crecimiento en forma de S pueden aproximarse bien por el modelo logístico, a pesar de la restricción de que el punto de inflexión se produce precisamente en C / 2. En segundo lugar, el modelo logístico puede ser resuelto analíticamente. Finalmente, el modelo logístico, aunque intrínsecamente no lineal, puede ser transformado en una forma lineal en los parámetros, por lo que puede estimarse mediante la técnica de regresión más común, los mínimos cuadrados ordinarios (ver sección 9.3.1).

9.1.2 Solución analítica de la ecuación logística

Aunque no es lineal, el modelo logístico mostrado en la ecuación (9-1) puede ser resuelto analíticamente. Primero separar las variables, luego integrar:

[pic 1]

Reorganizando el lado izquierdo da

[pic 2]

La integración de ambos lados produce

[pic 3]

Donde c es una constante. Ya que por definición P (t) = P (0) cuando t = 0,

[pic 4]

Tomando rendimientos exponenciales

[pic 5]

Que se puede reorganizar como

[pic 6]

[pic 7][pic 8]

O equivalentemente como

[pic 9]

Donde h es el momento en que la población alcanza la mitad de su capacidad de carga; El ajuste P (h) = 0.5C en la ecuación (9-10) y la solución para h produce h = ln [(C / P (O)) - l] / g *. Las ecuaciones (9-9) y (9-10) son dos formas de la solución analítica a la ecuación para el crecimiento logístico dada por la ecuación (9-1).

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