CUADROS LATINOS Y GRECOLATINOS

El cuadrado latino.

Los modelos de diseño de experimentos expuestos en las secciones previas son diseños completos o equilibrados. En estos diseños se obtienen pruebas cruzando los niveles de los factores de todas las formas posibles, por ello, en estos diseños los factores son ortogonales.

El concepto de ortogonalidad de factores.

En un diseño de experimentos los factores T , con I niveles, y T , con J niveles, son ortogonales si en las pruebas del diseño en cada uno de los niveles i del factor aparecen en idénticas proporciones los J niveles del factor T .

La propiedad de ortogonalidad permite separar los efectos de cada uno de los factores sobre la variable de interés.

Si los efectos simples de todos los factores estudiados en el diseño de experimentos son ortogonales, la estimación del efecto del nivel i del factor T se obtiene como la diferencia entre la media de los resultados obtenidos cuando el factor T está al nivel i y la media general de todos los resultados.

Las estimaciones así obtenidas para los efectos de un factor no están afectadas por los efectos de los otros factores, lo que permite separar los efectos simples de todos los factores estudiados.

En los diseños equilibrados el número de pruebas que hay que realizar crece muy rápidamente con el número de factores, aún en el caso de que se supongan nulas las interacciones y no sea necesario replicar el diseño. En estas situaciones son de gran utilidad los diseños de experimentos denominados fracciones factoriales, que permitan estudiar la influencia de los factores sin necesidad de realizar todas las pruebas pero manteniendo la propiedad de ortogonalidad de los efectos a estudiar. Como ejemplo de este tipo de modelos se expone a continuación la fracción factorial denominada cuadrado latino.

5.6.1 EL MODELO DE CUADRADO LATINO.

En un diseño de experimentos completo de tres factores, todos ellos con K niveles, necesita K3 observaciones, número elevado si K es grande. Un diseño más eficaz que solo utiliza K2 observaciones para el mismo problema es el cuadrado latino. Este modelo se basa en aprovechar la simetría del experimento factorial seleccionando un conjunto de condiciones experimentales con la condición de que cada nivel de un factor aparezca una vez con cada uno de los niveles de los otros factores. Por tanto, el diseño de cuadrado latino se puede utilizar si se verifican las siguientes condiciones:

1. Es un diseño de experimentos con tres factores.

2. Los tres factores tienen el mismo número de niveles: K.

3. No hay interacciones entre los tres factores.

El diseño en cuadrado latino está especialmente indicado para estudiar un factor-tratamiento con K niveles y con dos factores-bloque de K bloques cada uno. Este diseño se basa en el concepto de cuadrado latino que es el siguiente

“Un cuadrado latino K × K es una disposición de K letras en una matriz K × K de forma que todas las letras aparecen una vez en cada fila y una vez en cada columna.

Por ejemplo, un cuadrado latino 3 × 3 es el siguiente

A B C

B C A

C A B

Tabla 5.5. Cuadrado latino 3 × 3.

Un cuadrado latino es un cuadrado latino estándar cuando las letras de la primera fila y de la primera columna están dispuestas en orden alfabético.

Un cuadrado latino es un cuadrado latino cíclico si las letras de cada fila se generan cíclicamente de la anterior según el orden alfabético.

El cuadrado latino 3 × 3 de la Tabla 5.5 es estándar y cíclico.

Existe un único cuadrado latino 3 × 3 estándar, sin embargo hay cuatro cuadrados latinos 4 × 4 estándar que se presentan en la Tabla 5.6.

Cuadro 1 Cuadro 2 Cuadro 3 Cuadro 4

A B C D A B C D A B C D A B C D

B C D A B A D C B A D C B D A C

C D A B C D A B C D B A C A D B

D A B C D C B A D C A B D C B A

Tabla 5.6: Cuatro posibles cuadrados latinos 4 × 4 estándar.

“Un diseño en cuadrado latino es un diseño de un factor tratamiento con K niveles y K2 unidades experimentales agrupadas en K bloques fila y K bloques columna, de forma que unidades experimentales de un mismo bloque fila son semejantes, unidades experimentales de un mismo bloque columna son semejantes y unidades experimentales de distintos bloques fila y distintos bloques columna son sustancialmente diferentes”.

Para cualquier número de tratamientos K existe siempre al menos un diseño en cuadrado latino estándar cíclico.

Obsérvese que si en un diseño en cuadrado latino se ignora el bloque columna se tiene un diseño en bloques completamente aleatorizado (el bloque fila es el factor bloque) y, análogamente, si se ignora el bloque fila se tiene un diseño en bloques completamente aleatorizado (el bloque columna es el factor bloque). Además se trata de un diseño equirreplicado: cada tratamiento aparece un mismo número K de veces en el diseño.

Modelo matemático.

Se tiene un diseño en cuadrado latino de dos factores bloque y un factor tratamiento, el primer factor bloque se denota por B y se coloca en filas, el segundo factor bloque se denota por B y se coloca en columnas, el factor tratamiento se denota por T y sus niveles se colocan según el cuadrado latino. Por tanto, el cuadrado latino condiciona el nivel de T que se utiliza en la casilla ij (bloque i de B y bloque j de B ) y este nivel no se elige.

La formulación matemática del modelo es la siguiente:

para cada i = 1,...,K, j = 1,...,K, (el índice k lo impone el diseño en cuadrado latino) se tiene

donde,

* Y ij es el resultado del bloque i-ésimo, i = 1,...,K del factor bloque B y del bloque j-ésimo, j = 1,...,J del factor-bloque B , y del nivel k-ésimo del factor T .Se denota la k entre paréntesis, para indicar que este índice no

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