Capitulo 3.La función de utilidad

Capítulo 3

La función de utilidad

3.1 De Las Preferencias A La Utilidad 

El objeto de este capıtulo es transformar este problema de elección en otro equivalente de más fácil manejo, describiendo los gustos del consumidor mediante una función continua (la función de utilidad) que represente sus preferencias.

Para ello comencemos por recordar que cuando R+ está completamente peor- denado por una relación de preferencias -∼ i, la relación de indiferencia i permite establecer una relación de equivalencia sobre R +.

Dadas dos clases de indiferencia cualesquiera, una siempre es mejor que la otra. Ello sugiere que podríamos asociar a cada clase de indiferencia un número real de modo que a una clase de indiferencia mejor que otra le asignemos un número mayor. De este modo habríamos construido una función de valor real que permite la representación numérica del preorden de preferencias i. La cuestión es saber si este procedimiento funciona bien, es decir, si podemos conseguir representar las preferencias mediante una función que tenga buenas propiedades. ∼

 Definición 3.1: Se dice que una función u i: R +. R representa el preorden preferencias i cuando para todo x i , x i R+ , se verifica u i (x i ) ≥ u i (x i ) ⇐⇒ x i La función u i se conoce como la función de utilidad del i-´ esimo consumidor.

Observaciones importantes sobre la función de utilidad:

1. Por definición, si f  (u i (x i )) ≥ f R → R u i (x i ) es una función estrictamente creciente, entonces:

   f (u i (x i)) ≥ f R → R u i (x i )  ⇐⇒ u i (x i ) ≥ u i (x i ) ⇐⇒ x i i x i

Esto nos dice que u i no es m´ as que una forma de representar la relación i sin que sus magnitudes concretas posean significación.

La única información relevante es la del signo de la diferencia u i (x i ) − u i (x i )

Sin que la magnitud de esta diferencia podamos interpretarla como una medida de “cuanto mejor”.

1.   Como el conjunto de consumo + es no numerable, la existencia de tal función no es un problema trivial. Tenemos que estar seguros de que hay bastantes números reales como para que cada clase de indiferencia.

1. Para que la representación de las preferencias mediante una función de utilidad tenga inter´ es practico conviene que la función u i sea una función continua. Ello nos permitiría transformar el problema de elección del consumidor, consistente en la búsqueda de elementos maximales de una relación de preferencias.

¿Cómo se puede obtener una función de utilidad a partir de un mapa de curvas de indiferencia?

Para empezar observemos que el supuesto de monotonía implica que x i = 0 es el peor plan de consumo posible. Podemos dar el valor cero a este plan de consumo, es decir, u i (0) = 0. Ahora, a cada plan de consumo x i = 0, podemos asignarle aquel número que mide la distancia desde el origen de coordenadas a la curva de indiferencia I i (x i ), medida sobre la diagonal de R 2 + . Puede comprobarse que este procedimiento permite la construcción de una función de utilidad.

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