Certroides Funciones

Centroide de una región plana

Sea una región plana definida por las curvas f(x) y g(x) donde f(x) es mayor que g(x) en cierto intervalo [a,b], se divide en n sub intervalos.

Se construyen n rectángulos con base ∆x=(b-a)/h después se elige un punto de muestra xi que es el punto medio de cada rectángulo.

Se sabe que en área de la sección está definida por ∫_a^b▒〖[f(x)-g(x)]dx〗

Entonces el centroide de iesimo triangulo estará definido porx ̃=x_i; y ̃=(f(x_i )+g(x_i ))/2omento d

De esta manera la suma de momentos momento de los rectángulos hasta el iesimo rectángulo respecto al eje y es:

∑_(i=1)^n▒〖x_i [f(x_i )-g(x_i)]∆x〗

De Esta manera el momento sobre el eje y es

My=∫_a^b▒〖x[f(x)-g(x)]dx〗

Para el momento del iesimo rectángulo respecto al eje x se tiene:

[f(x_i )-g(x_i )]∆x•[[f(x_i )+g(x_i )]/2]=1/2{[f(x_i )]^2-〖[g(x_i)]〗^2}∆x

Entonces la suma de los momentos de los rectángulos respecto al eje x

∑_(i=1)^n▒〖1/2{[f(x_i )]^2-〖[g(x_i)]〗^2}∆x〗

De esta manera obteniendo el límite cuando n se aproxima a infinito se tiene que en momento respecto al eje x es

Mx=∫_a^b▒〖1/2{[f(x)]^2-〖[g(x)]〗^2}dx〗

Ahora se llega a la parte más importante sabiendo que

My=A•x ̅ Mx=A•y ̅

Donde A es el área entre las curvas A=∫_a^b▒〖[f(x)-g(x)]dx〗

Despejamos las coordenadas del centroide

My/A=x ̅ ; Mx/A=y ̅

(∫_a^b▒〖x[f(x)-g(x)]dx〗)/(∫_a^b▒〖[f(x)-g(x)]dx〗)=x ̅ ; (1∫_a^b▒〖{[f(x)]^2-〖[g(x)]〗^2}dx〗)/(2∫_a^b▒〖[f(x)-g(x)]dx〗)=y ̅

Y así obtenemos el centroide de un área entre 2 funciones

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